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\begin{document}
\pagestyle{empty}



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\begin{minipage}[t]{3.8cm}
\rule{0cm}{1cm}
\end{minipage} \ \
\begin{minipage}[t]{12.3cm}

{\bf Nummer 27  \hfill Oktober 2000 } 

\vspace{-6mm}
%\vspace{4mm}

\tableofcontents

\end{minipage}

%\vspace{5mm}


\newpage
Werbeseite der Fa. Texas Instruments\\
%!! Vorlage wie CAR26, bei v.Ort !!

\newpage
\pagestyle{plain}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Mitteilungen der Sprecher                                   %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{-15mm}
\Abschnitt{Mitteilungen der Sprecher}{Mitteilungen der Sprecher}{mitt_sprecher}

{\em
\noindent
                                                                              


Liebe Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra,
 

am 22. September trafen sich die Mitglieder der Fachgruppenleitung im 
Anschluss an die DMV-Tagung in Leipzig, um \"{u}ber aktuelle Fragen
zu diskutieren und die vorliegende Ausgabe des Rundbriefs zu besprechen.

Das Hauptthema unseres Treffens war die Entwicklung der Computeralgebra in der
Lehre. Wir blickten zur\"{u}ck auf die von der Fachgruppe, insbesondere aber
von den Kollegen Prof. Dr. Kerber, StD Knechtel und Prof. Dr. Koepf organisierte 
Tagung in Thurnau.
Das Gelingen dieser Tagung gibt uns Mut, uns weiterhin f\"{u}r die F\"{o}rderung
der Computeralgebra an Schulen einzusetzen. Einen Bericht zur Tagung finden Sie
in diesem Heft. 

Wie im letzten Heft des Rundbriefs angek\"{u}ndigt, steht in dieser Ausgabe
ein vergleichender \"{U}berblick \"{u}ber drei CAS-Taschenrechner. Der Autor
dieses Vergleichs, Herr Prof. Dr. Henn (Univ. Dortmund), ist seit langem bekannt
als Experte f\"{u}r den Computereinsatz in Schulen. Angeregt durch seinen Artikel
hat sich die Fachgruppenleitung entschlossen, den von Herrn Prof. Dr. Henn zitierten
Beitrag {\em ``Welche handwerklichen Rechenkompetenzen sind im CAS-Zeitalter
unverzichtbar?''} ebenfalls hier abzudrucken. Dieser Beitrag ist, wie aus seiner 
Zusammenfassung hervorgeht, eine Aufforderung zu Diskussion.  Wir k\"{o}nnen uns 
vorstellen, dass auch unsere Leser unterschiedlicher Ansicht sind. Wir m\"{o}chten 
im Rundbrief Gelegenheit geben zu unterschiedlichen Meinungs\"{a}u\ss{}erungen und
laden Sie herzlich ein, uns per email oder per Post Ihre Meinung zu sagen.

Als weiteren Beitrag zur F\"{o}rderung der Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und 
Weiterbildung ist unser Angebot zu sehen, Internetpublikationen zu begutachten und die 
Ergebnisse im Rundbrief zu ver\"{o}ffentlichen. Bitte machen Sie uns auf interessante
Internetseiten zu diesem Thema aufmerksam. Bei uns sammelt Prof. Dr. Koepf die zur 
Begutachtung vorgesehenen Seiten.
Wir hoffen, im n\"{a}chsten Heft schon die ersten Begutachtungen ver\"{o}ffentlichen
zu k\"{o}nnen.
 
\vspace*{3mm}

 \begin{flushright}
H. Michael M\"{o}ller \hspace{2cm} M.~Pohst
 \end{flushright}                                                                              

}

%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Konferenzen                                                 %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Abschnitt{Hinweise auf Konferenzen}{Hinweise auf Konferenzen}{hinwkonf}


\begin{enumerate}   

\input{../Konfhinw/konfhinw.tex}

\end{enumerate}

%\vspace*{5mm}

%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Berichte von Konferenzen                                    %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\Abschnitt{Berichte von Konferenzen}{Berichte von Konferenzen}{berkonf}

\begin{enumerate}

\konfhinwitem{2.\ Thurnau-Tagung: Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und
  Weiterbildung}{Schlo"s Thurnau bei Bayreuth, 26. -- 28.4.2000}

\noindent
Vom 26.\ bis zum 28.\ April 2000 fand im Schlo"s Thurnau bei Bayreuth die zweite
Tagung {\sl Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung} statt,
welche von der Fachgruppe Computeralgebra
(\URL{http://www.gwdg.de/\~{}cais}) organisiert wurde. Die Tagung hatte
58 Teilnehmerinnen und Teilnehmer,
vornehmlich aus Deutschland. Zwei Teilnehmer kamen aus "Osterreich, drei aus den USA
und einer kam aus Wei"sru"sland. Damit war die Beteiligung diesmal fast
doppelt so gro"s wie bei der ersten Thurnau-Tagung 1998. Zu unserer Freude
war diesmal die H"alfte der Bundesl"ander durch offizielle Vertreter
beteiligt:
\begin{itemize}
\item
{\bf Baden-W"urttemberg:}\label{page:bw}
OStR.\ Walter Kinkelin (Ministerium), Rolf Reimer (Schulversuch
{\sl Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer})
\item
{\bf Bayern:}
Alois Einhauser (Staatsinstitut f"ur Schulp"adagogik und Bildungsforschung), Detlev Kirmse (Zentralstelle f"ur Computer im Unterricht), OStR. Konrad Rudert
\item
{\bf Brandenburg:}
Dr. G"otz Bieber (P"adagogisches Landesinstitut Brandenburg)
%% , Schulrat Dr. J"org Klingenberg
\item
{\bf Niedersachsen:}
Heiko Knechtel, Hans-Dieter Stenten-Langenbach, Wilhelm Weiskirch
\item
{\bf Nordrhein-Westfalen:}
Dr. Norbert Esper hatte
leider aus gesundheitlichen Gr"unden kurzfristig abgesagt
\item
{\bf Sachsen:}
J"urgen Wagner (Comenius-Institut), Dr. Andreas Mei"sner (Staatliches Seminar f"ur das H"ohere Lehramt an Gymnasien)
\item
{\bf Sachsen-Anhalt:}
Willi Lichtenberg (Landesinstitut f"ur Lehrerfortbildung, Lehrerweiterbildung
   und Unterrichtsforschung von Sachsen-Anhalt)
\item
{\bf Schleswig-Holstein:}
StD. Dietrich Pohlmann
\item
{\bf Th"uringen:}
Dr. Wolfgang Moldenhauer (Th"uringer Institut f"ur Lehrerfortbildung,
   Lehrplanentwicklung und Medien)
\end{itemize}
Ferner war Landesschulrat Dr. Helmut Heugl aus "Osterreich vertreten.

In insgesamt 26 Vortr"agen wurde "uber Schulversuche und Initiativen zum
Computer\-algebra-Einsatz an deutschen Schulen berichtet, wurden Computeralgebrasysteme,
computeralgebraf"ahige Taschen- und Tischrechner sowie interaktive Medien
vorgestellt und wurden Erfahrungen mit dem Einsatz von Computeralgebrasystemen
im Unterricht weitergegeben. Drei der Vortr"age hatten Computeralgebra an
Fachhochschule und Universit"at zum Thema.

Eine komplette Teilnehmerliste findet sich im Internet bei\\
\URL{http://www.mathematik.uni-kassel.de/\~{}koepf/Thurnau2000.html}.\\
Die Vortr"age werden im Internet ver"offentlicht und sind, soweit sie eingereicht wurden,
"uber die Teilnehmerliste elektronisch abrufbar. Das Tagungsprogramm
kann bei der Adresse\\
\URL{http://www.mathematik.uni-kassel.de/\~{}koepf/ProgrammThurnau2000.html}\\
abgerufen werden.

Der erste Tag stand unter der "Uberschrift
{\sl Computer- und Softwareausstattung an deutschen Schulen}.
Zu diesem Thema war die Initiative D21 (\URL{http://www.d21.de}),
welche 1999 von IBM in Kooperation mit der deutschen Industrie gegr"undet
wurde, durch die Gesch"afts\-f"uhrerin Ariane Alpmann vertreten. Die Initiative
{\sl Schulen ans Netz} (\URL{http://www.san-ev.de}), 1996 vom
Bundesministerium f"ur Bildung und Forschung und der Deutschen Telekom
gegr"undet, wurde durch den Gesch"aftsstellenleiter Michael Drabe repr"asentiert.

Die Initiative D21 hat sich zum Ziel gesetzt, 20000 deutsche Schulen mit
Computern auszustatten.
Interessierte Schulen k"onnen sich bei der Initiative
anmelden. Die Initiative versucht dann, lokale Sponsoren f"ur die Schulen
zu finden. Von den bisher 600 angemeldeten Schulen konnten 100 ausgestattet
werden.

Die Initiative {\sl Schulen ans Netz} will bis Ende 2001 alle 44000 deutschen
Schulen mit einem kostenlosen Internet\-anschlu"s versorgen. Bislang haben
17000 Schulen einen Internet\-anschlu"s.
Zum Vergleich: W"ahrend nur 40\% der deutschen
Schulen Zugang zum Internet besitzen, liegt diese Quote in den USA bereits bei
90\%, in Finnland sogar bei 100\%.

Bei der Podiumsdiskussion am Ende des ersten Tages wurden %% insbesondere
folgende Themen als besonders bedeutsam benannt:
\begin{itemize}
\item
Die Softwareausstattung der Schulcomputer sollte die wichtigsten
{\bf Browser und Plugins} enthalten, um Probleme beim Herunterladen aus
dem Netz zu vermeiden; dies ist insbesondere unter dem Aspekt zu sehen,
da"s in den Schulen ja i.~a.\ keine Systemadministratoren vorhanden sind.
Ohne diese Softwareausstattung kommt der Computereinsatz schnell zum
Erliegen.
\item
Auf Dauer ist eine Ausstattung mit Schulcomputern nur mit {\bf technischem
Betreuungspersonal} zu administrieren. Hierzu m"ussen die L"ander bzw.\ Kommunen
Konzepte entwickeln. In Brandenburg wird eine derartige Konzeption beispielsweise
gerade erarbeitet.
\item
Es sollte mindestens ein {\bf Computeralgebrasystem} zur Verf"ugung
stehen. Hierf"ur m"ussen Landeslizenzen angestrebt werden (in
einigen Bundesl"andern gibt es Landeslizenzen) oder aber bundesweite Lizenzen oder
Sonderkonditionen f"ur die Schulen ausgehandelt werden.
\item
Ein wichtiges Thema ist die {\bf Lehrerfortbildung}. Es wurde kontrovers
diskutiert, ob die {\bf Fortbildungspflicht} in Niedersachsen das richtige Mittel
sei; eine gro"se Mehrheit der Teilnehmer h"alt dies aber doch f"ur angemessen.
Nachdem die Computeralgebra-Fortbildung zuerst teilweise mi"smutig
aufgenommen wurde, sind die Reaktionen inzwischen eher positiv.
In Sachsen ist seit langem der Einsatz von graphikf"ahigen Taschenrechnern
m"oglich, aber erst seit der {\bf obligatorischen} Einf"uhrung
f"ur alle Schulen ab Klasse 8 konnte diese Konzeption auch landesweit umgesetzt werden.
Es ist eine bekannte Erfahrung, da"s "uber Kann-Regelungen lediglich
ein Drittel der Lehrer ansprechbar ist.
\item
Erst wenn Computeralgebrasysteme auch in der {\bf Pr"ufungssituation}
zugelassen sind, ist der fl"achendeckende Einsatz m"oglich.
\end{itemize}
Der Rest der Konferenz stand unter dem Schwerpunkt des Einsatzes von Computeralgebra
in den einzelnen Bundesl"andern. Es ergab sich folgender aktueller Stand:
\begin{itemize}
\item
{\bf Baden-W"urttemberg} (\URL{http://www.uni-karlsruhe.de/\~{}za242/CAS}):
Im Rahmen des\\
PiMoKl-Schulprojekts ({\sl Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer}),
an welchem seit 1996 f"unf Gymnasien ab Klasse 11 beteiligt waren, wurden 1999
zum ersten Mal (mit {\it eigenem} Zentralabitur) Abiturpr"ufungen abgelegt
(Computeralgebra-Rundbrief~24, S.~15 und Rundbrief~25, S.~17--18, s.
\URL{http://www.gwdg.de/\~{}cais}, bzw. ZEIT vom
6.\ Mai 1999). Alle beteiligten Schulen sind weiterhin an diesem Projekt beteiligt,
und es sind inzwischen drei neue Schulen hinzugekommen.
\\ Ansprechpartner: OStR.\ Walter Kinkelin (\Mail{kinkelin@km-bw.de}).
\item
{\bf Bayern} (\URL{http://www.zs-augsburg.de}):\\
Seit 1992 werden graphikf"ahige Taschenrechner eingesetzt,
s.\ {\sl Forum Graphische Taschenrechner}
(\URL{http://www.zs-augsburg.de/rs/fgtr/fgtr.htm}).
Dies betrifft ca.\ 8~\% der Schulen,
auf Grund des Zentralabiturs sind allerdings keine Gymnasien beteiligt.
Seit 1996 gibt es erste Versuchseins"atze symbolischer Taschenrechner.
Seit 1999 sind an diesem Schulversuch 350 Sch"uler aus 13 Klassen, haupts"achlich
aus Realschulen, beteiligt.
\\ Ansprechpartner: Detlev Kirmse (\Mail{kirmse@zs-augsburg.de}).
\item
{\bf Brandenburg} (\URL{http://www.uni-potsdam.de/u/PLIB}):
Es gibt seit 1999 die Medienoffensive {\sl MAUS} (Medien an unseren Schulen), da
Brandenburg beim Einsatz von Medien in der Schule unter 16 Bundesl"andern
einen schlechten 15.\ Platz einnimmt. In diesem Rahmen werden in den n"achsten 5
Jahren Mittel bereitgestellt f"ur eine weitere Ausstattung mit Hard- und Software,
z.~B.\ auch f"ur Landeslizenzen. Es ist eine breit angelegte Fortbildung
vorgesehen, und es sollen Systemadministratoren ausgebildet werden.
Schlie"slich wird im Laufe des Fr"uhjahrs 2000 ein neuer Rahmenplan f"ur den\
Mathematikunterricht der Sekundarstufe I erstellt, in welchem moderne Medien
eine gr"o"sere Rolle spielen sollen. Beispielsweise soll
dynamische Geometriesoftware verbindlich eingesetzt werden, aber auch
an den prop"adeutischen Einsatz von Computeralgebrasoftware ist gedacht.
\\ Ansprechpartner: Dr.~G"otz Bieber (\Mail{goetz.bieber@plib.brandenburg.de}).
\item
{\bf Mecklenburg-Vorpommern}:
Im Ministerium werden momentan Vorbereitungen getroffen, um den Einsatz
von Computeralgebrasystemen im Abitur ab 2002 m"oglich zu machen.
Das Abitur wird
sich dann aus einer Pflichtaufgabe f"ur alle Sch"uler, bei dem CAS-
Kundige kein
en Vorteil haben werden,
und einem Wahlteil zusammensetzen. Der Wahlteil besteht aus je 4 Aufgaben,
aus d
enen Sch"uler zwei
auszuw"ahlen haben und zwar aus einem Wahlteil f"ur Sch"uler mit CAS und
aus ein
em ohne.
\\ Ansprechpartner: Dr. Jochen Weitendorf
(\URL{dr.weitendorf@t-online.de}).
\item
{\bf Niedersachsen}:
Auf Grund des dezentralen Abiturs werden vor allem der TI92 und der
TI89 bereits von recht
vielen Lehrern bis hin zum Abitur eingesetzt. Seit 1999 gibt es eine
Lehrerfortbildungsoffensive mit Fortbildungspflicht f"ur Mathematiklehrer,
s.~Com\-puter\-algebra-Rundbrief~25, S.~22--24.
\\ Ansprechpartner: Heiko Knechtel (\Mail{HKnechtel@aol.com}).
\item
{\bf Nordrhein-Westfalen:}
(\URL{http://www.learn-line.nrw.de/angebote/cas/medio.htm}): Seit 1998
gibt es einen Schulversuch, bei welchem von knapp 30 Klassen im Rahmen des
Mathematikunterrichts der gymnasialen Oberstufe DERIVE bzw.\ der TI-92 
eingesetzt wird.\\
Ansprechpartner: Rainer Opitz (\Mail{rainer.opitz@mail.lsw.nrw.de}). 
\item
{\bf Sachsen} (\URL{http://www.sn.schule.de/\~{}ci}):
Sachsen ist das einzige Bundesland, in welchem graphikf"ahige Taschenrechner (seit
1997) verbindlich ab Klasse 8 vorgesehen sind. Im Jahr 2000 ist dieses Projekt
in der Abiturstufe angekommen und werden die ersten Abiturpr"ufungen unter
Einbeziehung von graphikf"ahigen Taschenrechnern gestellt. Es gibt einen Modellversuch
zum Einsatz von Tabellenkalkulation, Geolog und MathCad in Klassen 7--10, eine
Fortsetzung in die Oberstufe ist vorgesehen.
\\ Ansprechpartner: J"urgen Wagner (\Mail{wagner.comenius@t-online.de}).
\item
{\bf Sachsen-Anhalt} (\URL{http://server1.schule.uni-halle.de/\~{}lisa/homepag2.htm}):
Taschenrechner und Tabellenkalkulation gibt es ab Klasse 7, graphikf"ahige
Taschenrechner und Computeralgebrasysteme sind erlaubt, aber nicht im
Abitur zugelassen. Ein erster Schulversuch wurde 1998 etabliert mit einem Grund-
und einem Leistungskurs (TI89) sowie einem weiteren Leistungskurs
(CASIO Algebra FX2.0).
\\ Ansprechpartner: Willi Lichtenberg (\Mail{Wlichtenberg@lisa.mk.lsa-net.de}).
\item
{\bf Th"uringen} (\URL{http://www.thillm.th.schule.de}):\\
Seit 1997 wurden an 8 Schulen die zehnten Klassen mit symbolischen Ta\-schenrechnern
TI89 ausgestattet. Diese Ausstattung wurde weitergef"uhrt und ab 2002 ist dann
Zentralabitur mit dem TI89 m"oglich. Die beteiligten Lehrer treffen sich alle zwei
Monate.
\\ Ansprechpartner: Dr.~Wolfgang Moldenhauer (\Mail{WMoldenhauer@thillm.thueringen.de}).\label{page:th}
\end{itemize}
In der abschlie"senden Podiumsdiskussion wurde debattiert, wie der Einsatz von
Computeralgebrasystemen in den Schulen weiter vorangebracht werden kann. Es wurde
insbesondere festgestellt, da"s sich an den Schulen in den letzten Jahren
zwar einiges getan hat, da"s aber der Funke noch nicht recht auf die
Universit"aten und die dortige {\bf Lehrerausbildung}
"ubergesprungen ist. Auf der anderen Seite gibt es an einigen
Universit"aten durchaus ein entsprechendes Angebot (s.~die regelm"a"sige
Rubrik {\sl Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra} des Rundbriefs), welches
aber von Staatsexamenskandidaten nur z"ogerlich angenommen wird. Hier sollte
man die {\bf Pr"ufungsinhalte des Staatsexamens} "uberdenken und entsprechend
anpassen. Als Minimalforderung sollte die Staatsexamensausbildung wenigstens die
Schulinhalte abdecken, und dazu geh"oren heutzutage auch Computeralgebrakenntnisse.
Es wurde eingesch"atzt, da"s insbesondere die zwei Drittel der eher weniger motivierten
Lehrer nicht eingebunden werden k"onnen, so lange die Universit"atsausbildung
stagniert. Als Nahziel wurde die Forderung formuliert, die 10\%-Marke zu "uberspringen.
Schlie"slich wurde auf allgemeinen Wunsch beschlossen, die Tagung in
zwei Jahren fortzusetzen.

Mein pers"onlicher Eindruck, welcher durch unz"ahlige Gespr"ache best"atigt wurde,
war der, da"s die Tagung allen Beteiligten einen sehr guten "Uberblick verschafft hat
"uber den momentanen Stand des Computeralgebra-Einsatzes an deutschen Schulen.

    \begin{flushright}
Wolfram Koepf (Kassel)
    \end{flushright}



\konfhinwitem{ISSAC 2000 -- International Symposium on Symbolic and
Algebraic Computation}{St Andrews, Schottland, 7.8. -- 9.8.2000} 

{\footnotesize
\noindent N\"aheres zu der Tagung und der ISSAC-Serie findet man auf der URL:\\
\URL{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/issac2000/}.\\ 

\noindent Bereits traditionell fanden am Vortag der Konferenz drei 
Tutorien zu aktuellen Themen der Computeralgebra statt: 

\noindent Martin Escardo, {\it Exact Numerical Computation}

\noindent Alexander Hulpke, {\it Using GAP}

\noindent Mohamed Omar Rayes, {\it Application of
  Computer Algebra in Mathematics Education}

\noindent Die diesj"ahrige ISSAC war eng mit der
CALCULEMUS 2000 (8th Symposium on the Integration of Symbolic
Computation and Mechanized Reasoning) verbunden.  Die Gesamtzahl der
Teilnehmer beider Tagungen betrug 160. Als gemeinsame Veranstaltung
beider Kongresse fand der eingeladene Hauptvortrag

\noindent Henk Barendregt, Arjeh M. Cohen, {\it Representing and handling
  mathematical concepts by humans and machines}

\noindent statt. Weitere eingeladene Hauptvortr"age der ISSAC 2000:

\noindent  Felipe Cucker, {\it Solving Polynomial Systems: a
  Complexitya Theory Viewpoint}

\noindent  Derek F. Holt, {\it Computation in Word-Hyperbolic Groups} 

\noindent Die Autoren der 38 in 12 (sequentiellen) Sitzungen
vorgestellten Beitr"age waren: M.  Zhang und R.  Goldman; A. Chtcherba
und D. Kapur; C. W. Brown; P.  Lisonek und R.  Israel; A. Dolzmann und
V. Weispfenning; G. Ivanyos; W. Eberly; T.  Mulders und A. Storjohann;
J.-G. Dumas, B. D. Saunders und G. Villard; V. Pan; S. A. Abramov und
M. Bronstein; A. Gupta, P.  Rohatgi und R.  Agarwal; C.-P. Jeannerod;
A. C. Norman; J. Harris; N.  Hur und J. H.  Davenport; H. Cheng und E.
Zima; G. E. Collins und W.  Krandick; B.  Mourrain und Ph. Trebuchet;
G. Bodnar und J. Schicho; F.  Binder, E.  Aichinger, J. Ecker, P. Mayr
und Ch. Nobauer; G. Lecerf; J. Schicho; G. Landsmann, E. Hillgarter,
J. Schicho und F. Winkler; D.  Grigoriev und N. Vorobjov; M. Noecker;
I. Miyamoto; P.  Fernandez-Ferreiros und M. Gomez-Molleda; H. Anai und
V. Weispfenning; A. Fredet; G. J. Reid und A. D. Wittkopf; F. Boulier
und F. Lemaire; J. C. Rosales, P. A.  Garcia-Sanchez und J. I.
Garcia-Garcia; O.  Cormier, M. F. Singer und F. Ulmer; J. Abbott, V.
Shoup und P.  Zimmermann; M. Monagan und A. D.  Wittkopf; Y. Huang, H.
J. Stetter, W.  Wu und L. Zhi; E. Kaltofen, W.  Lee und A. A. Lobo.

\noindent  Dar"uberhinaus wurden 21 Poster vorgestellt und es
fanden 4 Systemdemonstrationen statt.

}

\begin{flushright}
Joachim Apel (Leipzig)
\end{flushright}


\konfhinwitem{\bf  2.~MuPAD Workshop 2000}{Paderborn, 8.9. -- 9.9.2000}

{\footnotesize
\noindent
Dieser Workshop war einerseits dem zehnj"ahrigen Jubil"aum des
Computeralgebrasystems MuPAD als auch der neuen Release MuPAD 2.0
gewidmet. Einige "Ubersichtsvortr"age zum Thema Computeralgebra von
\begin{itemize}
\item
Michael Wester: 
{\sl Some Perspectives on the Usability of Computer Algebra Systems}
\item
Wolfram Koepf: {\sl Computeralgebraeinsatz in Deutschland}
\item
Thomas Himmelbauer: {\sl Computeralgebraeinsatz in "Osterreich}
\item
Wolfram Luther: {\sl Hypermediales Lehren und Lernen}
\end{itemize}
und ein MuPAD-Kurs
rundeten das Programm ab. Das Tagungsprogramm richtete sich in erster Linie
an Lehrer mit dem Interesse, Computeralgebra im Schulunterricht einzusetzen.

Die folgenden Vortr"age besch"aftigten sich mit Komponenten von MuPAD 2.0:
\begin{itemize}
\item
Oliver Kluge: {\sl Introduction to MuPAD 2.0}
\item
Ralf Hillebrand: {\sl MuPAD 2.0 User Interfaces and Documentation}
\item
Walter Oevel: {\sl MuPAD 2.0: The New Library}
\item
Klaus Drescher:
{\sl Kernel News - Changes in the MuPAD Language and Kernel for Version 2.0}
\item
Steve Swanson:
{\sl The Scientific WorkPlace Computational Interface (Powered by MuPAD)} 
\item
Claude Gomez: 
{\sl Computer Algebra and Numerical Computations: the MuPAD/Scilab link} 
\item
Frank Postel: {\sl MuPAD in der Lehre: Aktuelle und zukünftige Entwicklungen}
\item
Andreas Sorgatz: {\sl MuPAD als Rechenkomponente im Web}
\item
Eno Tonisson: {\sl Mupad's Capability Of Solving School Algebra Problems}
\end{itemize}
Homepage der Tagung mit Teilnehmerliste bei 
\URL{http://www.mupad.de/mw2000/index.shtml}.

}
    \begin{flushright}
Wolfram Koepf (Kassel)
    \end{flushright}


\konfhinwitem{\bf Jahrestagung der DMV -- Sektion ``Computeralgebra''}{Dresden  , 18.9. -- 22.9.2000}

{\footnotesize
\noindent
Die Jahrestagung der DMV fand in diesem Jahr in Dresden vom 18. bis
zum 22. September statt. Auch diesmal gab es eine eigenst\"andige
Sektion ``Computeralgebra'', die von B.~H.~Matzat (Heidelberg)
und M.~Geck (Lyon) geleitet wurde.

In 5 \"Ubersichtsvortr\"agen wurde \"uber vielf\"altige Aspekte und
Anwendungsbereiche der Computeralgebra berichtet: das Spektrum
reichte von d\"unnbesetzten Gleichungssystemen in der Chemie
(K.~Gatermann, Berlin), der konstruktiven Galoistheorie
(J.~Kl\"uners, Heidelberg) \"uber die konstruktive Erkennung von
Matrixgruppen (G.~Hi{\ss}, Aachen) und das ``Modular Atlas Project''
(J.~M\"uller, Aachen) bis hin zum Parametrisierungsproblem f\"ur
algebraische Fl\"achen (J.~Schicho, Linz).

In 5 weiteren Vortr\"agen wurden folgende Themen behandelt: Der
PCS-Beweiser im Rahmen des Theorem-Projektes (B.~Buchberger, Linz),
das Computer-Algebra Paket ACE (M.~Geck, Lyon), der Bahnalgorithmus
in der Darstellungstheorie (M.~Neunh\"offer, Aachen), die effektive
Darstellung von auf semialgebraischen Kompakta positiven Polynomen
(M.~Schweighofer, Konstanz) und ein schneller Resolutionsalgorithmus
f\"ur Kurven\-sin\-gula\-ri\-t\"aten (P.~Stadelmayer, Linz).

Mit ingesamt 10 Vortr\"agen lag diese Sektion etwas unter dem
Sektionsdurchschnitt von ungef\"ahr 16 Vortr\"agen (gemittelt
\"uber alle Sektionen). Nichtsdestoweniger waren einige Vortr\"age
sehr gut besucht und  l\"osten lebhafte Diskussionen aus.
Bemerkenswert war auch der (\"ausserst pro\-fessionel\-le!)
Einsatz von Com\-puter-Vor\-f\"uh\-run\-gen bei den Vortr\"agen.
Dadurch konnten sich die Zuh\"orer ein genaueres Bild auch von
tats\"achlichen Implementationen der vorgestellten Algorithmen
machen.

}
\begin{flushright}
M.~Geck (Lyon)
\end{flushright}


\end{enumerate}

% \newpage
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%%     Themen und Anwendungen der Computeralgebra                  %%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



% \Abschnitt{Themen und Anwendungen der Computeralgebra}{Themen und Anwendungen der Computeralgebra}{themen_ca}


% \UnterAbschnitt{\centerline{Das SymbolicData-Projekt -- Alt!!}}
% {Das SymbolicData-Projekt -- Alt!!}{symbolicdata}

% \newcommand{\SD}{{\sc Symbolic\-Data}}

% \begin{center}
% Olaf Bachmann (Kaiserslautern) und Hans-Gert Gr\"abe (Leipzig)
% \end{center}

% Wir wollen mit diesem Bericht den Lesern des
% Computeralgebra-Rundbriefs das \SD-Pro\-jekt, an dem wir im Rahmen der
% Benchmarking-Aktivit"aten der Fachgruppe seit etwa einem Jahr ...

% \newpage
% \vspace{-1.5em}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Systeme                                                     %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 
\Abschnitt{Neues \"uber Systeme und Hardware}{Neues \"uber Systeme und Hardware}{systems}


\UnterAbschnitt{\centerline{SINGULAR}\\
    \centerline{A Computeralgebra-System for
    Polynomial Computations}}{SINGULAR -- 
    a CA-System for Polynomial Computations}{singular}

\begin{center}
G.M. Greuel, G.Pfister, H. Sch\"onemann \\
Fachbereich Mathematik; Universit\"at Kaiserslautern \\
67653 Kaiserslautern; Germany\\
\end{center}

{\sc Singular} is a specialized computer algebra system for
  polynomial computations with emphasize on the needs of commutative
algebra, algebraic geometry, and singularity theory.

\subsubsection*{Main functionality.}
{\sc Singular}'s main computational objects are polynomials, ideals
and modules over a large variety of rings.  {\sc Singular} features
one of the fastest and most general implementations of various
algorithms for computing standard resp. Gr\"obner bases.
Furthermore, it provides
multivariate polynomial factorization, resultant, characteristic set and gcd
computations, syzygy and free-resolution computations, 
numerical root--finding, visualisation, 
and many more related functionalities.

Based on an easy-to-use interactive shell and C-like programming
language, {\sc Singular}'s internal functionality is augmented and
user-extendable by libraries written in the {\sc Singular} programming
language or in C++.
A general and efficient implementation of links as endpoints
of communications allows {\sc Singular} to make its functionality
available to and be easily incorporated into other programmes.

The main goal of the {\sc Singular}--group is to further develop and implement
 {\em advanced} algorithms to be used for mathematical research, in particular
 in commutative algebra, algebraic geometry and singularity theory.

Indeed there exist already several libraries providing such algorithms,
including full primary decomposition for several ground fields, ring
normalization (integral closure), versal deformations of arbitrary isolated
singularities, monodromy and spectral numbers for hypersurface singularities,
Hamburger--Noether (Puiseux)--expansions of plane curve singularities and many
more. Most of these algorithms are not available in any other system. 

Recently, due to nonmathematical applications of {\sc Singular}, we are
experimenting with symbolic--numerical polynomial solving.

As a specialized system, {\sc Singular}'s aim is not to provide all the
functionality of a general purpose system. The main strength of the system,
besides the above mentioned functionality, is the speed of the important basic
algorithms such as Gr\"obner basis, syzygy, and free resolution computations
for modules. It is impossible to detail any of the algorithms, we rather refer
to the literature, given in the references.

{\sc Singular}'s online help system is available in various formats where the
HTML format is especially user-friendly.

\subsubsection*{Availability.}
{\sc Singular} is publicly available as a binary program for all
common Unix platforms including {\sc Linux}, for Windows 95/98/NT and for
MacOS.\\ The current version number is 1.3.8. It can be downloaded by anonymous
 ftp from\\ 
%\begin{center}
  \URL{ftp://www.mathematik.uni-kl.de/pub/Math/Singular} 
%\end{center}
or per WWW from \\
%\begin{center}
  \URL{http://www.singular.uni-kl.de/distribution.html}\\
%\end{center}

Besides the executable {\sc Singular} program, the distribution
contains the source code of all {\sc Singular} libraries, the user
manual (resp. tutorial) in various formats (PostScript, info, and HTML) and some utility programs (for visualisation etc.).

Moreover, on request, we provide the source code of the {\sc Factory}
library for multivariate polynomial gcd, resultant, and factorization
which is part of {\sc Singular} but may be used by other
systems (as it is e.g., by Macaulay 2).

For more and always up-to-date information,  {\sc
  Singular}'s home page can be reached at\\ 
%\begin{center}
  \URL{http://www.singular.uni-kl.de}
%\end{center}

\subsubsection*{Mathematical Features.}
%\paragraph{}

{\sc Singular}'s primary computational objects are ideals resp.  modules 
which are generated by po\-ly\-no\-mials resp. po\-ly\-no\-mial-vectors over
po\-ly\-no\-mial
rings or, more generally, over the localization of a polynomial ring with
respect to any ordering on the set of monomials which is compatible
with the semigroup structure. 

%\newpage

\noindent
Supported baserings include:\\
\begin{tabular}{ll}
{\tt -} & polynomial rings with a large variety of polynomial orderings\\
&   (common simple, block, elimination,  weighted,\\
& and general matrix orderings),\\
{\tt -} &  localization of a polynomial ring at a prime ideal generated by \\
&  a subset of the variables \\
{\tt -} &factor rings by an ideal of one of the above,\\
{\tt -} &rings of tensor products of one of the above.
\end{tabular}\\
Supported ground fields for these rings include:\\
\begin{tabular}{ll}
{\tt -} & rational numbers (of arbitrary length) $Q$,\\
{\tt -} &finite fields $Z/p$ (where $p$ is a prime $\le 32003$),\\
{\tt -} &Galois fields (finite fields with $q=p^n \le 2^{15}$ elements),\\
{\tt -} &transcendental extensions ($K(A,B,C,\dots)$, $K=Q$ or
$Z/p$),\\
{\tt -} &algebraic extensions ($K[t]/\mbox{minimal-polynomial},\;
K=Q$ or $Z/p$), and \\
{\tt -} &floating point real and complex numbers with
arbitrary\\
& predefined precision.
\end{tabular}\\
The main algorithms implemented in {\sc Singular} are:\\
\begin{tabular}{ll}
{\tt -} & general standard
  basis algorithm for {\em any} monomial ordering which\\
  &is compatible with the natural semi-group structure of the exponents.\\
  & This includes
  well-orderings (Buchberger algorithm) and tangent cone\\
  &orderings (Mora algorithm) as special cases,\\
{\tt -} &
Hilbert--driven Gr\"obner basis algorithms, weighted--ecart--method and \\
& high--corner--method, FGLM algorithm for change of ordering, \\
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{ll}
{\tt -} & factorizing Buchberger algorithm,\\
{\tt -} & intersection, quotient, elimination and saturation of ideals,\\
{\tt -} & Schreyer's, La Scala's and Siebert's algorithm for computations of\\ 
        & syzygies and free resolutions of modules,\\
{\tt -} & combinatorial algorithms for computations of dimensions of
  factor\\
  & rings, Hilbert series and multiplicities of modules,\\
{\tt -} & multivariate polynomial gcd, resultant, and
  factorization algorithms, \\
{\tt -} & Wang's algorithm to compute characteristic sets.\\
%{\tt -} & Primary decomposition of ideals and modules based on
%  Gianni/\\
%  &Traeger/Zacharias's and on Shimoyama/Yokoyama's algorithms.\\
%{\tt -} & Homological alagra such as {\tt Ext} and {\tt Tor} group\\
%{\tt -} & Puiseux development (over arbitrary characteristic)\\
%        & of plane curve singularities.\\
%{\tt -} & Arnold's classifier of singularities.\\
%{\tt -} & Normalization (integral closure) of affine rings.\\
%{\tt -} & Ring invariants under certain group actions \\
%        & (finite groups, special unipotent groups). \\
%{\tt -} & Invariants of singularities of affine or projective 
%varieties such as \\
%        & Milnor, Tjurina and discriminate numbers, singular locus,\\
%        & T1 and T2 modules, semiuniversal deformations, etc.\\
%{\tt -} & Algorithms for homological algebras as, for example, for $Ext$,
%  $Tor$.\\
%{\tt -} & Visualisation of curves and surfaces (on Linux/Solaris Computers)\\
%{\tt -} & numerical solving of multivariate polynomial systems\\
%{\tt -} & Monodromy and spectrum of an isolated hyper-surface singularity\\
\end{tabular}\\
See [GGM], [GP96], [GPS98], [GP98] for more details on
the implemented algorithms. 

\subsubsection*{Computational Features.}
%\paragraph{}
{\sc Singular} has a convenient and intuitive interactive user
interface (shell) which has key-bindings similar to those of Unix'
\verb?tcsh? shell. Alternatively, an Emacs mode provides the possibility
to run {\sc Singular} within an Emacs/XEmacs window.
{\sc Singular}'s user interface provides both,
access to {\sc Singular}'s mathematical functionality and a
convenient, powerful, and C-like programming language (strongly typed,
and lexicographically scoped) which includes all the usual programming
constructs (like loops, procedures, local/global variables, etc).
Based on this programming language, users may extend {\sc Singular}'s
functionality by writing their own libraries.
Libraries may be written in the {\sc Singular} programming language or in C++.

At the moment, the {\sc Singular} distribution includes the following
libraries:\\

\noindent
\begin{tabular}{p{2cm}p{14cm}}
standard.lib & extensions of Singular kernel\\[1.0ex]
\multicolumn{2}{l}{\bf General purpose}\\
all.lib     &  load all other libraries\\
general.lib &  procedures of general type\\
inout.lib   &  procedures for manipulating in- and output\\
poly.lib    &  procedures for manipulating polynomials and ideals\\
random.lib  &  procedures of random/sparse matrix and poly operations\\
ring.lib    &  procedures for manipulating rings and maps\\[1.0ex]
\multicolumn{2}{l}{\bf Linear algebra}\\
matrix.lib  &  procedures for matrix operations\\
jordan.lib  &  procedures to compute the jordan normal form\\
linalg.lib  &  procedures for algorithmic linear algebra\\[1.0ex]
\end{tabular}                        

%\newpage
\noindent             
\begin{tabular}{p{2cm}p{14cm}}
\multicolumn{2}{l}{\bf Commutative algebra}\\
algebra.lib &  procedures for computing with algebras and maps\\
elim.lib    &  procedures for elimination, saturation and blowing up\\
homolog.lib &  procedures for homological algebra\\
mregular.lib&  procedures for Castelnuovo-Mumford regularity\\
normal.lib  &  procedures for normalization\\
primdec.lib &  procedures for primary decomposition\\
primitiv.lib&  procedures for finding a primitive element\\
intprog.lib  &  procedures  for integer programming\\
toric.lib   &  procedures for toric ideals\\[1.0ex]
\multicolumn{2}{l}{\bf Singularities}\\
classify.lib&  procedures for the Arnold-classifier of singularities\\
deform.lib  &  procedures for computing miniversal deformation\\
hnoether.lib&  procedures for Hamburger-Noether (Puiseux) development\\
mondromy.lib&  procedures to compute the monodromy of a singularity\\
sing.lib    &  procedures for computing invariants of singularities\\
spcurve.lib &  procedures for Cohen--Macaulay codimension 2 singularities\\[1.0
ex]
\end{tabular}                        

%\newpage
\noindent             
\begin{tabular}{p{2cm}p{14cm}}
\multicolumn{2}{l}{\bf Invariant theory}\\
finvar.lib  &  procedures to calculate invariant rings of finite groups\\
ainvar.lib  &  procedures for invariant rings of the additive group\\[1.0ex]
\multicolumn{2}{l}{\bf Symbolic-numerical solving}\\
presolve.lib&  procedures for pre-solving polynomial equations\\
solve.lib   &  procedures to solve polynomial systems\\
triang.lib  &  procedures for decomposing zero-dimensional ideals\\
ntsolve.lib &  procedures for real Newton solving\\[1.0ex]                     
   
\multicolumn{2}{l}{\bf Visualization}\\
graphics.lib&  procedures to draw with Mathematica\\
latex.lib   &  procedures for typesetting in TeX\\
surf.lib    &  interface to the surf programme
\end{tabular}
 
\subsubsection*{Links.}

{\sc Singular} furthermore features links as general endpoints of 
communications, i.e. as something, {\sc Singular} can read from or
write to. To this point, the following link types are implemented:\\
\begin{tabular}{ll}
Ascii text & Output can conveniently be viewed and manipulated.\\
           & Read/write is not the fastest.\\
DBM        & Provides access to data stored in a data base.\\
MP file    & Stores data in the binary Multi Protocol (MP) format\\
           & [BGS96]. Read/write is very fast.\\
MP TCP     & Exchanges data in binary MP format between processes \\
           & (on the same or different computers);\\
           & data exchange is very efficient
\end{tabular}

The functionality of theses links is provided to the user by a 
general, consistent and convenient link interface. 

Based on MP TCP links, {\sc Singular} can very efficiently communicate
with itself which opens the door for implementations of
parallel/distributed algorithms. Furthermore, the same links can be
used to communicate with other Computer Algebra programs which have an 
MP interface. At the moment, there are MP interfaces for MuPAD and
Mathematica, enabling the use of one system from the others (e.g. one can 
use {\sc Singular}'s functionality from within Mathematica or
MuPAD).


\subsubsection*{Performance.}

{\sc Singular}'s kernel is implemented in C/C++. {\sc Singular}'s main
implementation design goal is speed of the mainly used algorithms. Therefore,
all time-consuming operations like standard bases computations or
factorization are implemented in its kernel. As another consequence, 
{\sc Singular} has the concept of a global ring which needs to be defined prior
to any polynomial operations. Arbitrary precision integer and floating point
arithmetic is accomplished by linking {\sc Singular} with the GNU multiple
precision library \verb?gmp? and modulo arithmetic is accomplished by using
look-up tables.  Polynomials are internally represented as linked lists of
monomials, where a monomial consists of a coefficient and an exponent
vector.

To illustrate {\sc Singular}'s computing speed,
the table below shows timings of various systems for
solving problem 6  of the ISSAC'97 system challenge (computation of a
lexicographical Gr\"obner basis, 16 roots). 
The first row shows the timings for the Gr\"obner basis computation
(using the default command as the respective manual describes them).
The second row shows the time for numerical solving (finding all complex
roots) of the same system
(commands \verb|NSolve| (Mathematica),
\verb|evalf(solve(..))| (Maple) and \verb|triangL_solve| (Singular)).
(The new symbolic-numerical algorithms for polynomial system solving
in {\sc Singular} seem to be especially promising, cf. [G00-2]).
All timings were taken on a Pentium
Pro 200 with 128 MB of RAM running Linux:  
\begin{small}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & Mathema\-tica 4.0 &  Maple V.5.1 &
 GB v3 & SINGULAR \\
\hline
Gr\"obner basis &  159.49 sec & 14.66 sec & 207 sec &  0.61 sec \\
\hline 
numerical solution & 15.91 sec &  out of mem.   &  -    & 4.28 sec    \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{small}
Computations with MuPAD 1.4, Reduce, CoCoA (3.0.2) and
Macaulay 2 (0.8.14) could not finish the Gr\"obner basis computation within 15 
CPU hours.

For more examples see: \URL{http://www.symbolicadata.org}, 
a project benchmarking CA system.

\subsubsection*{SINGULAR 2.0.}
The new version, to be released at the end of 2000, has a new internal engine
for polynomial arithmetic which dramatically increases its computational
efficiency while at the same time decreases its memory usage.\\
{\sc ESingular} is a new program for out--of--the--box, precustomized
Emacs/\ XEmacs which runs {\sc Singular}. Hence, using {\sc ESingular}, such
features as colour input--output highlighting, pull--down menus, line
truncation, a demo mode and tab completion are provided. {\sc Singular} 2.0
has also a new Windows port which includes {\sc ESingular}.

%\newpage

\subsubsection*{Future Work.}
%\paragraph{}
{\sc Singular}'s development is an actively ongoing
project. Currently, the following features are under development:

\begin{itemize}
\itemsep-0.2cm
\item more flexible ring concepts
\item faster computations by better
  adaption of datastructures to algorithms
\item Newton polyhedron algorithms
\item integral closure of an ideal
\item primary decomposition for modules
\end{itemize}

Furthermore, an independent version {\sc Singular::Plural} is under
development which is able to compute standard bases and syzygies in very
general {\em non--commutative} structures with applications especially for Lie
algebras.

%\newpage

\subsubsection*{References.}
\quad\newline
\begin{tabular}{lp{15.0cm}}
[BGS96] & O.~Bachman, S.~Gray, and H.~Sch\"onemann. MP: A Frame work for
        Distributed Polynomial Systems Based on MP. In {\sl Proc. of the
        International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation
        (ISSAC'96)}, Zurich, Switzerland, July 1996, ACM Press.\\
$$[GGM] & H.~Grassmann, G.-M.~Greuel, B.~Martin, W.~Neumann, G.~Pfister,
          W.~Pohl, H.~Sch\"onemann, and T.~Siebert. On an implementaion of
          standard bases and syzygies in {\sc Singular}. {\sl Computational methods in Lie Theory}. AAECC, 7:235-249, 1996.\\
$$[GP96]   & G.-M.~Greuel and G.~Pfister. Advances and improvements in the
         theory of standard bases and syzygies. {\sl Arch. d. Math.}, 66:163-176, 1996\\
$$[GP98]   & G.-M.~Greuel and G.~Pfister. Groebner bases and algebraic geo\-metry. In B.~Buchberger and F.~Winkler, editors, {\sl Groebner bases and applications}, volume 251 of {\sl London Mathematical Society Lecture Notes}, pages 109-143, Cambridge University Press, 1998\\
$$[GPS98] &G.-M.~Greuel, G.~Pfister, and H.~Sch\"onemann. Singular version 1.2 
User Manual. In {\sl Reports On Computer Algebra}, number 21, Center for Computer Algebra. University of Kaiserslautern. June 1998.\\
$$[GR00-1] & G.-M.~Greuel.\ Computeralgebra and Algebraic Geometry Achieve\-ments and perspectives. To appear in JSC, 2000\\

$$[G00-2] & G.-M.~Greuel.\  Applications of Computer Algebra to Algebraic
        Geometry, Singularity Theory and Symbolic-Numerical Solving. To appear 
in {\sl Proceedings of the 3rd ECM, Barcelona 2000}\\
\end{tabular}

\begin{flushright}
G.M. Greuel, G.Pfister, H. Sch\"onemann (Kaiserslautern) \\
\Mail{[greuel,pfister,hannes]@mathematik.uni-kl.de}
\end{flushright}

%  \begin{tabular}[h]{|l|l|l|r|}
%G.M. Greuel, G.Pfister, H. Sch\"onemann (Kaiserslautern) \\
%\Mail{[greuel,pfister,hannes]@mathematik.uni-kl.de}
%\Mail{greuel@mathematik.uni-kl.de} &
%\Mail{pfister@mathematik.uni-kl.de}&
%\Mail{hannes@mathematik.uni-kl.de} & \\
%  \end{tabular}

\hrule 



\renewcommand{\rmdefault}{ppl}
% \DeclareSymbolFont{operators}{OT1}{pplcm}{m}{n}
% \DeclareSymbolFont{letters}{OML}{pplcm}{m}{it}
% %\DeclareSymbolFont{symbols}{OMS}{pzccm}{m}{n}
% \DeclareSymbolFont{largesymbols}{OMX}{psycm}{m}{n}
% \DeclareSymbolFont{bold}{OT1}{ppl}{bx}{n}
% \DeclareSymbolFont{italic}{OT1}{ppl}{m}{it}
% \DeclareMathAlphabet{\mathrm}{OT1}{ppl}{m}{n}
% \DeclareMathAlphabet{\mathbf}{OT1}{ppl}{bx}{n}
% \DeclareMathAlphabet{\mathit}{OT1}{ppl}{m}{it}

% \hyphenation{Front-end}

% \sloppy
% \raggedbottom
% \parindent=0pt
% \parskip=2pt

\def\mma{\textit{Mathematica}}
\def\mlink{\textit{MathLink}}

\UnterAbschnitt{\centerline{Mathematica, die vierte}}{Mathematica, die vierte}{mathemat40}

\noindent

Im Herbst 2000 "uber die "Anderungen in \mma\ 4 zu schreiben scheint schon
fast nicht mehr der M"uhe wert, denn schon in K"urze wird 4.1 verf"ugbar
sein. Nichtsdestotrotz lohnt sich eine "Ubersicht, denn viele der hier
erw"ahnten Punkte werden auch auf 4.1 zutreffen.

Sicherlich eine der wichtigsten Neuerungen von \mma\ 4 im Vergleich zur
Version 3 ist die Geschwindigkeit bei numerischen Berechnungen. Der
Geschwindigkeitszuwachs ist vor allem auf die interne Verwendung von sog.
packed arrays zur"uckzuf"uhren. Man stelle sich ein packed array grob wie
ein normales Array in einer Hochsprache wie C vor, d.h. es enth"alt nur die
Daten und nicht f"ur jedes Element den kompletten Overhead eines normalen
\mma-Objekts. Das macht die packed arrays nicht nur einen Faktor 4--5
kompakter im Speicherbedarf, sondern sie sind auch besser an bestehende
Datenstrukturen angepa"st, z.B. werden intern viele Funktionen aus
Standardlibraries direkt mit packed arrays als Argumenten aufgerufen.
Dazu kommt noch, da"s im Vergleich zur Version 3 viel mehr Funktionen
automatisch vorkompiliert werden. So wurden bislang die Argumente von
Funktionen wie {\tt Plot} implizit kompiliert, w"ahrend in \mma\ 4 z.B.
auch Funktionen, die auf Listen losgelassen werden, automatisch kompiliert
werden. Mit der packed-array-Technologie ist \mma\ 4 bei
Matrizenoperationen etwa so schnell wie Matlab geworden. Einige
Vergleichswerte f"ur eine $500\times 500$-Matrix mit reellen Zufallszahlen
(\verb:m = Table[Random[], {500}, {500}]:):
\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
Ausdruck & \mma\ 3 & \mma\ 4 & Geschwindigkeitszuwachs \\ \hline
\verb=Sin[m]=       & 2.433 s & 0.13 s & 18.7 \\
\verb=(m + 1)^100=  & 4.425 s & 0.311 s & 14.23 \\
\verb=Min[m]=       & 4.487 s & 0.02 s & 224
\end{tabular}
\end{center}
Eine Liste weiterer Benchmarks findet man z.B. bei
http:/$\!$/smc.vnet.net/mathbench.html.

Jedoch nicht nur numerische Berechnungen sind schneller worden. Beim
pattern matching, einem integralen Bestandteil der \mma\ Sprache, hat
Version 4 ebenfalls zugelegt (allerdings nicht so sehr wie im numerischen
Bereich), und das wirkt sich in erster Linie auf symbolische Berechnungen
aus.

Das grafische Frontend hat in \mma\ 4 mehr Funktionen bekommen bzw. vom
Kernel "ubernommen, und diese Tendenz wird sich fortsetzen. Es ist
abzusehen, da"s der Kernel in zuk"unftigen Versionen praktisch keine
Grafikf"ahigkeiten mehr besitzen wird und das Frontend diese Funktionen
komplett "ubernimmt, d.h. der Kernel wird dann automatisch zur
Grafikausgabe das Frontend aufrufen. (F"ur Kernel-Puristen: keine Angst,
das geschieht intern, ist also nicht am Bildschirm sichtbar.) Die
eingebauten Renderingfunktionen des Kernel ({\tt Display}, {\tt Export})
sind seit Version 3 praktisch nicht mehr ge"andert worden, was sich in der
jetzigen Version leider etwas unangenehm darin bemerkbar macht, da"s
Programme z.T. unterschiedlichen Grafik-Output erzeugen, je nachdem, ob
sie aus dem Frontend oder dem Kernel heraus gestartet werden.

Neu in Version 4 sind auch die {\tt Import}- und {\tt Export}-Funktion,
mit der sich viele g"angige Dateiformate m"uhelos von und nach \mma\
transferieren lassen. Z.B. um eine Tabelle mit Daten einzulesen, gen"ugt 
\begin{verbatim}
  Import["file.dat", "Table"]
\end{verbatim}
Besonders "uberzeugend gel"ost ist der Export von Frontend-Notebooks in
HTML- und \TeX-Code, was vermutlich auf das Bestreben von Wolfram Research
zur"uckzuf"uhren ist, mit den Notebooks ein universelles Format f"ur
mathematische Dokumente zu schaffen, das eine m"oglichst weite Verbreitung
finden soll. In Version 4.1 wird die Liste der unterst"utzten Ein- und
Ausgabeformate noch um einige erweitert sein, insbesondere wird 4.1 in der
Lage sein, MathML-Code zu erzeugen. [MathML ist eine Erweiterung von HTML,
die mathematischen Formelsatz einschlie"st und in der n"achsten Generation
von Browsern, z.B. Netscape 6, verf"ugbar sein soll.]

Eine kleine, aber wichtige Erweiterung ist die M"oglichkeit, bei
{\tt Simplify} und {\tt FullSimplify} einschr"ankende Annahmen anzugeben,
die bei der Vereinfachung ber"ucksichtigt werden, z.B.
\begin{verbatim}
  Simplify[Sqrt[a^2]] -> Sqrt[a^2]

  Simplify[Sqrt[a^2], Element[a, Reals]] -> Abs[a]
\end{verbatim}

\mma\ d"urfte zur Zeit auch eine der vollst"andigsten Sammlungen von
Integralen und speziellen Funktionen besitzen (f"ur eine "Ubersicht der
F"ahigkeiten verschiedener Systeme siehe z.B.
http:/$\!$/www.scientificweb.de/ncrunch/index.html). Als kleiner
Wermutstropfen mu"s allerdings auch erw"ahnt werden, da"s \mma\ in vielen
F"allen immer noch opportune Parameter annimmt, etwa in
\begin{verbatim}
  Integrate[x^n, x] -> x^(1 + n)/(1 + n)
\end{verbatim}
obwohl es eigentlich in der Lage ist, Fallunterscheidungen durchzuf"uhren.

Einen ganz neuen Bereich von Anwendungen erschlie"st das \mlink\ API, mit
der sich Hochsprachen-Programme in C, C++, Fortran, Perl und Visual BASIC
anbinden lassen. Obwohl \mlink\ nicht erst seit Version 4 existiert, war
es bis Version 3 nur in der Lage, C-Programme anzubinden. Ein auf \mlink\
basierendes Zusatzpaket ist J/Link, das man kostenlos bei
http:/$\!$/www.wolfram.com/news/jlink.html bekommt. J/Link verkn"upft \mma\
mit Java. Es ist extrem simpel zu benutzen und stellt auf einen Schlag
alle bestehenden Java-Klassen in \mma\ zur Verf"ugung. Um z.B. ein Fenster
auf dem Bildschirm zu "offnen:
\begin{verbatim}
  << JLink`
  InstallJava[]
  frame = JavaNew["java.awt.frame"]
\end{verbatim}
Das ist vor allem deswegen so n"utzlich, weil \mma\ zwar hervorragende
Grafik-{\it Ausgabe}routinen besitzt, aber zur Eingabe im wesentlichen auf
die Tastatur beschr"ankt ist.

Abschlie"send sollte man erw"ahnen, da"s die Unterschiede zwischen Version 3
und 4 zwar wichtige Verbesserungen darstellen, aber l"angst nicht so
drastisch sind wie zwischen 2.2 und 3. Bei letzterem Upgrade mu"ste man
in vielen F"allen bestehende Programme umzuschreiben, und das ist beim
Umstieg von 3 auf 4 nur in Ausnahmef"allen n"otig.


  \begin{flushright}
Thomas Hahn (Karlsruhe, \Mail{hahn@feynarts.de})
  \end{flushright}                                                             
% Thomas Hahn $\langle$hahn@feynarts.de$\rangle$\\
% Institut f"ur Theoretische Physik\\
% Universit"at Karlsruhe\\
% D--76128 Karlsruhe\\


% {\noindent

% \UnterAbschnitt{\centerline{ALT!! -- Macsyma 2.4 for PCs and Macsyma 422 for UNIX}}{Macsyma 2.4 for PCs and Macsyma 422 for UNIX}{macsyma}

% \vspace{-.5em}
% \noindent
% Macsyma(r) 2.4 for PCs with MS-Windows 95, 98, and Windows NT is now
% shipping. ...
% }
%  \begin{flushright}
% Macsyma Inc. (Arlington)
%  \end{flushright}                                                              

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Computeralgebra auf Taschenrechnern                         %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 
\Abschnitt{Computeralgebra auf Taschenrechnern}{Computeralgebra auf
  Taschenrechnern}{ca_taschenr}

%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}

\vspace*{4mm}

\noindent
Wir haben nun einige Informationen "uber die Computeralgebra-F"ahigkeiten von
Taschenrechnern zusammengetragen und diese unter dieser Rubrik gesammelt.

Zun"achst stellen die Hersteller TI und CASIO ihre Rechner vor, und danach
folgt ein vergleichendes Referat von Prof.~Dr.~Hans-Wolfgang Henn.

\vspace*{8mm}

\UnterAbschnitt{\centerline{Einige fortgeschrittene CAS F"ahigkeiten}\\
\centerline{der Taschencomputer  TI-89 and TI-92 Plus}}{Einige fortgeschrittene CAS F"ahigkeiten von TI-89 and TI-92 Plus}{ti}           

\noindent
TI-89 und TI-92 Plus sind leistungsstarke Taschencomputer mit ernsthaften programmiertechnischen, graphischen, numerischen und symbolischen F"ahigkeiten. Zum Beispiel gewann der Vorg"anger TI-92 den Wettbewerb w"ahrend des International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation gegen REDUCE, MACSYMA, Mathematica, und MuPad. (Wegen der Aufgaben und L"osungen siehe das SIGSAM Bulletin Ausgabe 122 und 123, ver"offentlicht von der Association for Computing Machinery.)

Im folgenden einige Beispiele zu den mehr fortgeschrittenen CAS F"ahigkeiten von TI-89 und TI-92 Plus formuliert als Aufgaben:
\begin{enumerate}
\item
Finde (in h"ochstens 1 Sekunde) die allgemeine symbolische L"osung der nicht-linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $x y y'' + x y'^2 + y y' = 0$.
\item
Gib (in h"ochstens 8 Sekunden) alle allgemeinen L"osungen des folgenden Systems nicht-linearer algebraischer Gleichungen in Abh"angigkeit des Parameters $k$:
\begin{eqnarray*}
w x y z &=& k\;,\\
w x y + x y z + y z w + z w x &=& 0\;,\\
w x + x y + y z + z w &=& 0\;,\\
w + x + y + z &=& 0\;.
\end{eqnarray*}
\item
Berechne (in h"ochstens 2 Sekunden) den folgenden symbolischen Grenzwert exakt:
\[
\lim_{x\rightarrow\infty}
e^x\cdot\left(e^{1/x+e^{-x}+e^{-x^2}}-e^{1/x-1/e^{e^x}}\right)
\;.
\]
\item
Berechne (in h"ochstens 8 Sekunden) die folgende Stammfunktion exakt:
\[
\int\left( x^2\cdot\Big( \cos(b\ln x)+\arcsin x\Big)+\frac{x^{1/3}}{(a+x^{4/5})^{2/3}}\right) dx\;.
\]
\item
Berechne (in h"ochstens 8 Sekunden) die symbolische Determinante der symmetrischen $10\times 10$ Tri-Diagonalmatrix mit $x^2+1$ in der Diagonalen und $x$ in der oberen und unteren Nebendiagonalen.
\item
Multipliziere (in h"ochstens 9 Sekunden) vollst"andig aus: $(x + y)^{100}$.
\item
Faktorisiere (in h"ochstens 1 Sekunde) 
"uber den ganzen Zahlen $x^{100} + y^{100}$.
\end{enumerate}

{\normalsize    \begin{flushright}
David R. Stoutemyer\\ \URL{dstoutemyer@ti.com}
    \end{flushright}
}

\vspace*{4mm}
%\hrule


\UnterAbschnitt{\centerline{Der CAS-Graphikrechner Algebra FX 2.0 von Casio}}{Der CAS-Graphikrechner Algebra FX 2.0 von Casio}{casio}           


\noindent
Das Ma"s aller bisherigen CAS-Rechner im Taschenformat ist der TI 92 bzw. der TI 89. Welche Alternative dazu stellt der Casio Algebra FX 2.0 dar?

Neben den vielen schon bekannten numerischen M"oglichkeiten, die man vom Modell CFX 9850BG Plus schon kennt, findet man in der Men"uliste zus"atzlich die Men"us CAS, Algebra und Tutor, hinter denen sich ein Computeralgebrasystem verbirgt. Die symbolischen Rechenm"oglichkeiten sind den Themen der Sekundarstufe II zuzuordnen. Neben algebraischen Termumformungen wie expand, factor, simplify, combinate, collect und substitute stehen formale L"osungsstrategien von Gleichungen zur Verf"ugung. Im Rahmen der Analysis k"onnen Ableitungen, Integrale, Grenzwerte, Summen und Produkte bestimmt werden. Es ist weiterhin m"oglich die Taylorentwicklung einer Funktion, die L"ange eines Kurvenst"uckes und die Tangentengleichung zu erhalten. Dieser Funktionsumfang kann vor dem Hintergrund der o.g. Texasrechner als durchaus gering angesehen werden. F"ur den Unterrichtsalltag erscheinen unter Beachtung des traditionellen Curriculums der Analysis diese Funktionen eines CAS ein sinnvolles und ausreichendes Werkzeug, letztlich auch der dabei g"unstige Preis. Dagegen stehen keine Hilfen im CAS  zur Verf"ugung, wenn  es um Lineare Algebra, Vektorrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung geht. Hier stehen dann nur numerische Werkzeuge wie Listen, Matrizen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit numerischen Koeffizienten zur Verf"ugung. Hier kann man nur hoffen, dass es bald eine Weiterentwicklung des Rechners geben wird. In Frankreich ist der GRAPH 100 - so wird er dort bezeichnet - ein Verkaufsrenner auch gegen"uber dem TI 89 / TI92, wohl auch deshalb, weil numerische Graphikrechner seit Jahrzehnten dort  im Unterricht verbreitet sind und ein Wechsel zum Algebra FX 2.0 dann dem bisherigen Nutzer sehr leicht f"allt.

%% {\normalsize    \begin{flushright}
%% Karel Tschacher (Heroldsberg)\\ \url{karel.tschacher@t-online.de}
    %% \end{flushright}
%% }
\vspace*{4mm}
%\hrule

\begin{center} {\large\bf Der Computer Extender von Casio} 
\end{center}
\label{casioextender}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\normalsize \sl
Der Computer Extender von Casio}

\noindent
Technische Daten des Cassiopeia:\\
Windows CE 2.11 Betriebssystem einschlie"slich Pocket Word, Pocket Excel and Pocket PowerPoint; Hitachi SH-3 (80MHz) CPU Prozessor; 16MB RAM; 2MB eingebautes Flash Memory; 640 x 240 Punkte Anzeige; Bedienung mit Stift auf der Anzeigeoberfl"ache (Pen Touch Screen); RS 232C serielle Schnittstelle; Zus"atzliche serielle Schnittstelle mit Chinchstecker; PCMCIA Karteneinschub f"ur weitere Schnittstellen: Internet, Netzwerk, VGA-Adapter und anderes; Infrarotschnittstelle; Einschubkarte mit Geometer's Sketchpad, Maple; Math Resources Graphing; weitere Windows CE Programme wie Taschenrechner, Terminplaner etc. 

Die Besonderheit dieses Handheld von Casio liegt in der verf"ugbaren Software, die ein bew"ahrtes CAS-System, n"amlich Maple V unter Windows CE erm"oglicht. Maple for Cassiopeia f"ur Windows CE entspricht weitgehend dem bekannten Maple V f"ur den PC. Die Kompatibilit"at ist ab Release 4.0 gesichert. Die Bedienung ist benutzerfreundlich dialogorientiert. Es werden alle verf"ugbaren Befehle aus Men"us heraus mit dem Stift markiert. Der Leistungsumfang ist entsprechend gro"s. Alle Terme k"onnen "uber eine eingeblendete Tabelle mit dem Stift geschrieben werden, nach dem Editieren erfolgt eine Syntaxpr"ufung. Ein korrekt geschriebener Ausdruck kann dann "uber die Aktionsliste mit allen verf"ugbaren Befehlen weiterbearbeitet werden. Die Graphikf"ahigkeiten schlie"sen zwei- und dreidimensionale Darstellungen ein, ebenso k"onnen Scharen von Funktionen gezeichnet werden. Dabei wird die typische, im einzelnen m"uhsame Syntax von Maple V wie beim Desktop nicht ben"otigt. Worksheets aus Maple V k"onnen im Handheld verarbeitet werden, ebenso k"onnen Dateien des Cassiopeia im Desktop genutzt werden. Daneben kann der versierte Maple V Nutzer die zeichenorientierten Befehle eingeben. Eine relativ gro"se Tastatur erleichtert die Eingabe von Zeichen. Der Cassiopeia wird derzeit an Gymnasien und Realschulen im Unterricht versuchsweise eingesetzt. Die Ergebnisse werden sicher zu gegebener Zeit Interessierten zug"anglich gemacht.

{\normalsize    \begin{flushright}
Karel Tschacher (Heroldsberg)\\ \URL{karel.tschacher@t-online.de}
    \end{flushright}
}

 

\newpage
%\hrule

\UnterAbschnitt{\centerline{CAS-Taschenrechner: Ein vergleichender
    "Uberblick}}{H.-W. Henn, CAS-Taschenrechner: Ein vergleichender
    "Uberblick}{Taschenrechner}


\centerline{H.-W. Henn}

\subsubsection*{Computer in der Schule}

Die Entwicklung und leichte Verf"ugbarkeit von Hard- und Software f"ur den 
Mathematikunterricht macht, wie es Hans Schupp schon 1994 ausdr"uckte, es 
notwendig, "uber Dinge nachzudenken, "uber die wir auch ohne Computer schon 
lange h"atten nachdenken m"ussen. Insbesondere denke ich an die 
Computeralgebrasysteme (CAS), die die vorwiegende Kalk"ulorientierung des 
Mathematikunterrichts infrage stellen. Der Einsatz des Werkzeugs CAS kann 
durch seine Visualisierungsm"oglichkeiten den Erwerb mathematischer Begriffe 
und den Aufbau ad"aquater Grundvorstellungen unterst"utzen, kann durch die 
leichte M"oglichkeit von Beispielrechungen und Experimenten heuristische Phasen 
und Probleml"osestrategien unterst"utzen und kann durch die "Ubernahme 
kalk"ulbasierter, komplizierter Rechnungen den Sch"ulerinnen und Sch"ulern die 
Konzentration auf Idee und Bedeutung mathematischer Konstrukte und wirkliche 
mathematische Modellierung erleichtern. Der Rechner kann aber nur dann den 
Lernenden als ein zentrales und bereicherndes Werkzeug zum Lernen von 
Mathematik dienen, wenn er bei Bedarf auch tats"achlich zur Verf"ugung steht, 
und zwar sowohl bei der Arbeit in der Schule und zu Hause als auch bei 
Pr"ufungen. Aus diesem Grund sind relativ preiswerte "`Taschen-Computer"' (TC) 
besonders wichtig.  


\subsubsection*{Die drei untersuchten "`Taschen-Computer"'}

{\bf Allgemeine Bemerkungen} 

F"ur meine vergleichende Analyse habe ich mit den drei Taschencomputern Casio 
FX-2.0, Texas Instruments TI-89 und Casio Cassiopeia, die mir von den 
Herstellern freundlicherweise zur Verf"ugung gestellt worden sind, gearbeitet. 
Ausgegangen bin ich von den Anforderungen im gymnasialen Mathematikunterricht 
der Oberstufe. Der Rechner sollte, einmal angeschafft, bis zum Ende der 
Schulzeit eingesetzt werden k"onnen, m"oglichst einfach zu bedienen sein und 
allen im schulischen Mathematikunterricht (derzeit und in der absehbaren 
Zukunft) anfallenden Aufgaben gewachsen sein. Auf F"ahigkeiten der drei TC, die 
f"ur den schulischen Einsatz nicht prim"ar von Bedeutung sind, werde ich nicht 
oder nur am Rande eingehen. W"ahrend die ersten beiden Rechner in derselben 
Preisregion liegen, ist der Casio Cassiopeia aufgrund seines Preises einer 
ganz anderen Kategorie zuzuordnen; nur aufgrund seiner Gr"o"se und seines 
Gewichts passt er zu den anderen beiden Rechnern. Allerdings kann sich der 
Preisabstand bei der rasanten Entwicklung in diesem Bereich schnell 
verringern. 

Die Verwendung dieser Rechner ist f"ur einen "`bequem gewordenen"' Benutzer der 
Windows-Versionen von Derive und Maple, wie ich es bin, nicht einfach. Wer 
nicht von Graphik-Taschenrechnern "`aufsteigt"', wird insbesondere mit den 
vielen Tastenkombinationen, die f"ur die reichhaltigen M"oglichkeiten der beiden 
ersten Rechner n"otig sind, zun"achst Schwierigkeiten haben. Hier w"are m.E. oft 
"`weniger mehr"'. 

F"ur alle drei gilt, dass sie den "ublichen Aufgaben der Schulmathematik 
gewachsen sind. Die Bedienungsanleitungen der beiden ersten Rechner sind sehr 
dick, aber un"ubersichtlich und wenig benutzerfreundlich geschrieben (was 
leider bei Anleitungen im Computerbereich eher die Regel ist). Die 
Bedienungsanleitung des dritten Rechners ist dagegen sehr kurz.  

Nach Bet"atigung des Einschaltknopfs sind alle drei TC sofort betriebsbereit; 
man kann so schnell eine kurze Rechnung machen oder einen Graphen zeichnen 
lassen, ohne die extrem langen Startzeiten eines "ublichen Windows-PCs abwarten 
zu m"ussen. Dies ist ein f"ur den Unterrichtsalltag wichtiger Aspekt. Ein 
weiterer wichtiger Aspekt ist, dass man auch nach l"angerer Nichtbenutzung (man 
denke etwa an die fast siebenw"ochigen Sommerferien) gleich wieder mit dem 
Rechner arbeiten kann und nicht alle n"otigen Befehle und Tastencodes erneut 
nachschlagen muss. In diesem Punkt schneiden die beiden ersten Rechner nicht 
besonders gut ab. Die vielen n"otigen Tastenkombinationen sind software-%
ergonomisch und mnemotechnisch ung"unstig, w"ahrend beim Cassiopeia die 
Men"uf"uhrung es auch dem unbedarften Benutzer relativ einfach macht, wieder 
"`zur Sache zu kommen"'. F"ur alle drei Rechner sind Verbindungskabel und 
Treiberprogramme f"ur den Daten- und File-Austausch mit einem PC erh"altlich. 
Fehlermeldungen sind beim Cassiopeia am spezifiziertesten. Beim FS-2.0 erh"alt 
man meistens die Meldung "`Syntaxfehler"' und wei"s dann oft nicht, was falsch 
ist. Die Verwendung schon berechneter Terme ist am einfachsten beim TI-89 und 
beim Cassiopeia. Durch die Flash-Technologie von TI-89 und FX-2.0 sind 
elektronische Updates und die Verwendung von neuen Hilfsroutinen m"oglich, 
w"ahrend der Cassiopeia durch seine Steckkarten ausbauf"ahig ist. 

Zun"achst will ich eine Kurzbeschreibung f"ur die drei Rechner geben. Genauer 
gehe ich (durchaus nach subjektiven Ma"sst"aben) auf die hier im Vordergrund 
stehenden Graphik- und CAS-M"oglichkeiten der drei Rechner ein. Einige 
(Graphik- und CAS-M"oglichkeiten betreffende) Vergleiche zwischen den drei 
Rechnern werden dann in Abschnitt 3 gemacht. 


{\bf Casio FX-2.0}

Der FX-2.0 ist ein sehr leistungsf"ahiger, programmierbarer Graphik-%
Taschenrechner, der zus"atzlich ein CAS-Modul bekommen hat. Der Rechner ist ca. 
$17,5 \times 8,5 \times 2,5$ cm$^3$ gro"s und wiegt ca. 280 g. Betrieben wird 
er mit 4  
Microbatterien und einer Lithiumbatterie (als Sicherungsbatterie). Der 
Bildschirm ist ca. 62 $\times$ 40 mm$^2$ gro"s und hat 127 $\times$ 63 Pixel. 
Der Rechner kostet  
ca. 180 DM. F"ur den Einsatz im Klassenzimmer gibt es auch eine spezielle 
Version des FX-2.0 mit einem netzunabh"angigen Overhead-Aufsatz, beides wird 
bei Bestellung eines Klassensatzes des FX-2.0 kostenlos mitgeliefert. 

Der FX-2.0 hat ein Hauptmen"u mit % etlichen 
Untermen"us (z.B. Graphen und 
Wertetabellen, Kegelschnitte, Statistik, Gleichungen l"osen), bei denen die 
mathematischen Aufgaben alle numerisch gel"ost werden.  

Beispielsweise werden im Untermen"u EQUA(tions) alle $n$ reellen und komplexen 
N"aherungsl"osungen algebraischer Gleichungen bis zum Grad $n = 30$ gefunden. 
Dies ben"otigt allerdings seine Zeit, f"ur die Bestimmung der Nullstellen des 
Kreisteilungspolynoms $x^{30}-1$ braucht der Rechner ca. 4 Minuten. Im 
Untermen"u  
GRPH-TBL k"onnen bis zu 20 Funktionsterme eingegeben werden,  deren Graphen 
gezeichnet werden k"onnen und von denen Wertetabellen berechnet werden k"onnen. 
F"ur uns ist besonders das Untermen"u CAS interessant.  In diesem Men"u werden in 
der oberen Zeile des Bildschirms Befehle und Ausdr"ucke eingegeben, deren 
Ergebnisse dann nach Dr"ucken der Exe-Taste in "`pretty print"' im unteren Teil 
des Fensters ausgegeben werden. Durch den beschr"ankten Bildschirm ist die 
Eingabe-Darstellung etwas gew"ohnungsbed"urftig. Beispielsweise ist 
$\int$\verb?(e-X^2?
eine korrekte Schreibweise f"ur das Integral $\int e^{-x^2}\,{\rm d}x$. 
Die Interaktion zwischen CAS-Modul 
und den anderen Modulen, etwa dem Graphik/Tabellen-Modul, ist etwas 
umst"andlich. Im CAS-Modus k"onnen z.B. Funktionsterme aus dem Graphik-Speicher 
aufgerufen und weiterbearbeitet werden, und es k"onnen Ergebnisse an einen 
Funktionsterm im Graphik-Speicher zugewiesen werden.  


{\bf TI-89}

Der TI-89 ist eine vereinfachte und deutlich verkleinerte Version des TI-92, 
in dem im wesentlichen das CAS Derive implementiert ist. Diese Rechner stehen 
auch in der Tradition der graphikf"ahigen und programmierbaren TR von Texas 
Instruments, sind aber speziell als "`Derive-Taschencomputer"' entwickelt 
worden. Der TI-92 hatte noch das Dynamische Geometriesystem Cabri II 
implementiert, das aber in der Zwischenzeit (wie auch das DGS Geometer's 
Sketchpad) als Zusatzsoftware relativ preiswert auch f"ur den TI-89 erh"altlich 
ist. (Bei den Geometrieprogrammen setzt allerdings der beschr"ankte Graphik-
Bildschirm Grenzen.) Der Rechner ist 18,5 $\times$ 9 $\times$ 2,5 cm$^3$ 
gro"s und wiegt ca. 280 g. Betrieben wird er mit 4 Microbatterien und einer 
Lithiumbatterie (als  
Sicherungsbatterie). Der Bildschirm ist ca. 63 $\times$ 38 mm$^2$ gro"s und hat 
160 $\times$ 100  
Pixel. Der Rechner kostet ca. 260 DM. Der Overhead-Zusatz (ca. 400 DM) f"ur den 
Einsatz im Klassenzimmer wird einfach an einen TI-89 angeschlossen und 
ben"otigt keine eigene Stromversorgung (so kann z.B. jeder Sch"uler seine 
Bearbeitung auf seinem Rechner schnell der ganzen Klasse vorf"uhren). W"ahrend 
der TI-92 automatisch einen Overhead-Anschluss hat, muss hierf"ur am TI-89 
leider ein spezieller Anschluss vorhanden sein, der den Rechner ca. 50 DM 
teurer macht. Im Algebra-Fenster werden Befehle und Ausdr"ucke in der unteren 
Bildschirmzeile eingegeben. Nach Dr"ucken der Enter-Taste werden sie im oberen 
Teil des Fensters links nochmals wie eingegeben, rechts in "`pretty print"' 
ausgegeben. Graphen werden in einem Graphik-Fenster ausgegeben. Wie beim 
"`normalen"' Derive k"onnen Fenster auch gesplittet werden, etwa ein Algebra- und 
ein zugeh"origes Graphik-Fenster nebeneinander. Es gibt schon viel Literatur 
zum Einsatz dieses Rechners, die auf die deutsche Schullandschaft passt.  

{\bf Casio Cassiopeia}

Dieser Rechner ist eine Klasse f"ur sich, es ist eigentlich ein kleiner 
Computer, der unter dem sehr stark vereinfachten Betriebssystem Windows CE 
l"auft und "`von Hause aus"' nur eine vereinfachte Office-Version (mit Word, 
Excel und PowerPoint) implementiert hat. Der Bildschirm ist 
ber"uhrungssensitiv; ein spezieller Stift dient als Maus-Ersatz (ganz 
zufriedenstellend ist diese Technik aber noch nicht; oft muss man mehrfach mit 
dem Stift einen Befehl anklicken, bis er ausgef"uhrt wird). Via Steckkarten 
kann man auch das CAS "`Maple-CE"' und das DGS Geometer's Sketchpad betreiben. 
Stromquelle sind 2 Microbatterien und eine Lithiumbatterie (als 
Sicherungsbatterie). Mitgeliefert werden ein wiederaufladbares Batterienset 
und ein Netzger"at (diese sind wegen der geringen Lebensdauer der normalen 
Batterien auch sehr empfehlenswert). Der Cassiopeia hat ein Gewicht von ca. 
450 g und zugeklappt die Ma"se von ca. 18.5 $\times$ 9,5 $\times$ 2,5 cm$^3$. 
Der aufgeklappte 
Rechner hat im unteren Teil eine kleine, aber (fast) normale Tastatur (mit 
allerdings sehr kleinen Tasten) und im oberen Teil einen Bildschirm, der 157 
$\times$ 
61 mm$^2$ gro"s ist, 640 $\times$ 240 Pixel hat und vier Graustufen darstellen kann. Der 
Prozessor ist deutlich  schneller als die Prozessoren der beiden anderen TC. 
Leider hat der Cassiopeia den gewaltigen, seinen breiten Einsatz in der Schule 
noch verhindernden Nachteil eines Preises von ca. 1.500 DM (davon entfallen 
ca. 300 DM auf die hier interessierende Karte f"ur Maple-CE). Der Bildschirm 
ist allerdings auch bei Kontrastoptimierung nur bei "`geeigneten"' Lichtbedingen 
gut ablesbar. Das Maple-CE erinnert in seiner Bedienung  an Derive (for 
Windows), ist aber mit dem "`normalen"' Windows-Maple - was den mathematischen 
Teil angeht - weitgehend kompatibel, ohne allerdings alle Befehle zu kennen 
und dessen Worksheet-Oberfl"ache zu haben. Ausdr"ucke und Befehle werden in der 
unteren Bildschirmzeile eingegeben und nach Dr"ucken der Enter-Taste im oberen 
Fenster nochmals wie eingegeben, dann ausgef"uhrt ausgegeben. Die Darstellung 
ist leider nicht in "`pretty print"' dargestellt und daher oft nicht besonders 
sch"on, da z.B. das Integralzeichen aus den Zeichen / und | 
"`zusammengebastelt"'  
wird, so dass man f"ur ein bestimmtes Integral 7 bildschirmf"ullende Zeilen 
ben"otigt. Dar"uber hinaus k"onnen zwischen den Mathematik-Zeilen noch 
Kommentar-Zeilen eingef"ugt werden. Wie das "`normale"' Maple ist auch das 
Cassiopeia-Maple  
Befehl-sensitiv: wird ein Befehl oder eine Ausgabe markiert, so werden im Men"u 
{\it Action} diejenigen Befehle angezeigt, die man anwenden kann. Nach Anw"ahlen 
eines Befehls wird er dann in vollst"andiger Syntax in die Editor-Zeile 
geschrieben; dort, wo noch etwas einzuf"ugen ist, stehen Fragezeichen. Das 
Cassiopeia-Maple versteht viele der "`normalen"' Maple-Befehle; aus dem 
mitgeliefertern kleinen Handbuch geht allerdings nicht hervor, welche. Dar"uber 
hinaus k"onnen zwischen den Mathematik-Zeilen noch Kommentar-Zeilen eingegeben 
werden. Leider funktioniert das "Ubertragen von Text oder Graphik aus dem 
Cassiopeia-Maple in das Cassiopeia-Word nicht.  


\subsubsection*{Vergleiche einiger beispielhafter, f"ur die Schule wichtigen 
Graphik- und CAS-Anwendungen}


\noindent
{\bf Graphik}

{\em 2-D-Graphik}

Alle drei Rechner k"onnen Funktionen einer Variablen in kartesischen oder 
Polar-Koordinaten graphisch darstellen. Besonders viele verschiedene 
Graphikm"oglichkeiten beherrscht der TI-89. Leider hat das Plot-Fenster des 
Cassiopeia-Maple nur ca. ein Drittel des Bildschirms und kann nicht vergr"o"sert 
werden, so dass der Rechner seinen "`Pixel-Vorteil"' gar nicht so stark 
ausnutzt. Es k"onnen bei allen drei TC auch Punkte (aus Liste oder als 
Folgenwerte) (als Punkt-Plot oder als Polygonzug) und Parameterkurven 
graphisch dargestellt werden. Beim FX-2.0 und beim TI-89 k"onnen mit einem 
einfachen Befehl auch "`Spinnweb-Diagramme"' erzeugt werden. Nat"urlich kann der 
Bildausschnitt vorgegeben und sp"ater ver"andert werden. Eine Zoom-M"oglichkeit 
(mit Wahl des Zoomzentrums und des Zoomfaktors) haben nur der FX-2.0 und der 
TI-89. Diese M"oglichkeit ist z.B. zur Visualisierung der lokalen Linearit"at 
differenzierbarer Kurven sehr gut. Ebenfalls nur beim FX-2.0 und beim TI-89 
k"onnen Graphen mit Hilfe des "`Trace-Modus"' abgetastet werden, so dass schnell 
eine qualitative Funktionsuntersuchung gemacht werden kann. 

Implizite Funktionen werden unterschiedlich behandelt: Der FX-2.0 kann 
Kegelschnitte (anhand vorgegebener Gleichungstypen im Untermen"u CONICS) 
darstellen, w"ahrend die beiden anderen Rechner die Graphen "`beliebiger"'
impliziter Funktionen $f(x,y) = 0$ darstellen k"onnen 
(was beim TI-89 je nach dem l"angere Rechenzeiten erfordert). 


{\em 3-D-Graphik}

Der FX-2.0 kann keine 3-D-Graphik darstellen. Der TI-92 kann 3-D-Graphen 
erzeugen und erlaubt es, Blickwinkel, Gr"o"se und Darstellungsart zu ver"andern. 
Der Cassiopeia kann Graphen von $z = f(x,y)$ darstellen, allerdings nur mit 
vorgegebenem Koordinatensystem und Blickwinkel; "andern kann man nur den 
dargestellten $x$- und $y$-Bereich. 3-D-Graphen sind nat"urlich 
rechenzeitaufwendig  
und bei der beschr"ankten Bildschirmaufl"osung nicht sehr detailreich. 
 
{\em Dynamische Graphik}

Im Untermen"u DYNA(misierung) des FX-2.0 kann man nach Angabe eines 
Parameterbereichs \linebreak
"`$a =$ Startwert (Schrittweite) Endwert"' die Graphen der 
Funktionen $f(a,x)$ berechnen lassen. Sie werden dann nacheinander auf dem 
Bildschirm dargestellt. Damit kann z.B. der Einfluss eines Parameters auf die 
Kurvenform studiert werden. Die Berechnung ist nat"urlich zeitaufwendig (z.B. 
f"ur die Funktionen $f(a,x) = \sin (a\cdot x)$ mit $a = -1$ (1) 5 etwa 45 Sekunden). 
Maple-CE des Cassiopeia kennt nicht den entsprechenden Befehl {\it animate} 
des "`normalen"' Maple.  
Beim TI-89 lassen sich 3-D-Graphen z.B. durch Ver"andern des 
Betrachtungswinkels animieren.  



\noindent
{\bf Faktorisierungsbeispiel: Primfaktorzerlegung zweier Fermatzahlen}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline
 & {\bf FX-2.0} & {\bf TI-89} & {\bf Cassiopeia} \\ \hline
$2^{32}+1$ & Zerlegung in ca. 6 Sek. & 
Zerlegung in ca. 2 Sek. & Zerlegung in ca. 2 Sek. \\ \hline
$2^{64}+1$ & {\it Keine} Zerlegung; & 
Zerlegung in ca. 30 Sek. & Zerlegung in ca. 3 Sek. \\ 
 & Ausmultiplizieren ca. 8 Sek. &  & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

Allerdings war bei der n"achsten Fermatzahl $2^{128}+1$ auch der Cassiopeia 
"uberfordert; nach 2,5 Stunden habe ich die Rechnung abgebrochen (das 
Ausmultiplizieren der 128 Zweier-Faktoren  ging nat"urlich in 
Sekundenschnelle). 


\noindent
{\bf Exaktes L"osen von Gleichungen}

Gemeinsame Eigenschaften: Exaktes L"osen linearer Gleichungssysteme (auch mit 
Parametern), beim FX-2.0 m"ussen allerdings $n$ Gleichungen mit $n$
 zu bestimmenden 
Unbekannten eingegeben werden. Bei algebraischen Gleichungen werden die 
rationalen L"osungen gefunden, bei  algebraischen Gleichungen vom Grad 1 und 2 
(auch mit Parametern) werden alle L"osungen gefunden. Der Cassiopeia kann auch 
algebraische Gleichungen vom Grad 3 exakt l"osen. Alle k"onnen sehr einfache 
nicht-lineare Gleichungen (z.B. $\sqrt{x^2+4}=5$) l"osen. Einfache nicht-lineare 
Gleichungssysteme (z.B. das System $x\cdot y = 2,\ x+y = 3$) 
werden (manchmal) vom TI-89 und vom Cassiopeia gel"ost.  


\noindent
{\bf Terme und Termumformungen}

Alle Rechner haben einen Befehl zum Approximieren. Beim FX-2.0 kann mit dem 
Befehl APPROX im CAS-Modus allerdings nur eine konkrete reelle Zahl rational 
approximiert werden, der Befehl APPROX kann z.B. nicht auf ein bestimmtes 
Integral angewandt werden. 

Folgen werden beim FX-2.0 "uber das Untermen"u RECUR(sion) eingegeben; sie 
k"onnen als einzigen Parameter den Folgenindex $n$ haben. Beim FX-2.0 und beim 
TI-89 k"onnen Folgen auch rekursiv definiert werden (beim FX-2.0 kann $f_n$ 
maximal von den beiden vorhergehenden Gliedern abh"angen, beim TI-89 von 
beliebig vielen). Beim Cassiopeia muss dies "uber Maple-Prozeduren realisiert 
werden, was komplizierter ist. 

Bei allen drei Rechnern lassen sich rationale algebraische Terme eingeben und 
algebraisch manipulieren (Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Zusammenfassen, 
Vereinfachen -- wobei letzteres bei allen CAS unterschiedliche Ergebnisse 
liefern kann).  


\noindent
{\bf Calculus}

Alle Rechner beherrschen die "`Grundaufgaben der Analysis"' bei viel mehr als 
den in der Schule vorkommenden Funktionen: das Bestimmen von Ableitungs-
und Stammfunktionen, Grenzwerten, Summen, Produkten, Taylorpolynomen. Bei 
Ableitungs- und Stammfunktionen d"urfen auch Parameter vorkommen. Die Syntax 
der Befehle ist bei FX-2.0 und TI-89 "ahnlich und relativ einfach zu merken. 
Beim Cassiopeia ist die Eingabe durch die Kontextsensitivit"at von Maple am 
einfachsten. 

Beispielsweise bei Summen gibt es Unterschiede: Beim FX-2.0 d"urfen nur 
konkrete nat"urliche Zahlen als Summen-Start- und -End-Wert vorkommen. Der 
Endwert "`$\infty$"' wird akzeptiert, aber in der Regel wird die Summe 
unbearbeitet  
zur"uckgegeben. Insbesondere der Cassiopeia ist hier leistungsst"arker, wie die 
folgenden Beispiele zeigen: 

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 & $\sum\limits_{i=1}^n i $ & $\sum\limits_{i=1}^\infty i $ & 
$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} $ & 
$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i} $  &
$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2} $  &
$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} $ \\ \hline
TI-92 & $\frac{n\cdot (n+1)}{2} $ & $\infty$ &
$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} $ & 
$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i} $  &
$\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2} $  &
$1/6\pi^2$ \\ \hline
Cassiopeia & $1/2(n+1)^2-1/2n-1/2 $ & $\infty$ & 
$\psi(n+1)+\gamma$ & $\infty$ & $-\psi(1,n+1)+1/6\pi^2$ & $1/6\pi^2$ \\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}    

\bigskip

Maple-CE kennt also die Digamma-Funktion. Bei konkretem Endwert, z.B. 
$n = 10,\ 100,\ 1000$ zeigen FX-2.0 und TI-89 den exakten Wert mit dramatisch 
steigenden  
Rechenzeiten an, w"ahrend der Cassiopeia bei $n = 10$ und $n=100$ 
sehr schnell das 
exakte Ergebnis anzeigt und bei $n = 1000$ das Ergebnis 
$\psi (1001) + \gamma$. 
Ich glaube allerdings nicht, dass eine Rechner-Antwort mit der Digamma-%
Funktion f"ur die Schule sinnvoll ist. 


Alle drei Rechner berechnen Grenzwerte mit einem Limit-Befehl (wohl mit Hilfe 
der Regel von de l'Hospital). Die Grenzwerte  

$${\rm a)}\quad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \ ,\qquad
{\rm b)}\quad \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^n $$      

\noindent
sind jeweils (f"ur alle $n \in {\bf N}$) gleich 1, 
was alle drei Rechner auch f"ur den 
Grenzwert a) herausfinden. Die beiden "`kleinen"' Rechner finden f"ur alle $n$, 
die ich ausprobiert habe, diesen Grenzwert auch bei b), 
dagegen gibt Maple-CE den 
Grenzwert b) ab $n = 12$ unbearbeitet zur"uck. Anscheinend wird der de 
l'Hospital nur 12 mal hintereinander durchgef"uhrt. Wieder eine v"ollig  andere 
Frage,  
n"amlich eine didaktische, ist es nat"urlich, ob und, wenn ja, wo der 
Limit-Befehl in der {\it Schule} sinnvoll ist. 

Einfache Differentialgleichungen werden in vielen Leistungskurs-Curricula 
genannt, so dass entsprechende M"oglichkeiten des verwendeten Rechners durchaus 
w"unschenswert sind. Der FX-2.0 bietet hier keine M"oglichkeiten. Mit dem TI-89 
und dem Cassiopeia-Maple kann man exakte L"osungsfunktionen einfacher DGL 
berechnen und kann dar"uber hinaus Richtungsfelder und L"osungskurven zeichnen. 


\noindent
{\bf Vektoren und Matrizen}

F"ur Probleme der Analytischen Geometrie oder etwa f"ur die in vielen Lehrpl"anen 
genannten  mehrstufigen Prozesse (einfache Markoffketten) sind Operationen mit 
Vektoren und Matrizen n"utzlich. Der FX-2.0 beherrscht "uber das Untermen"u 
RUN-MAT(rix) eine einfache Matrizenalgebra, allerdings ausschlie"slich mit 
numerischen Werten und im Approx-Modus. Die Gr"o"se der Matrizen ist nur durch 
den Speicherplatz beschr"ankt. Die beiden anderen Rechner k"onnen auch 
symbolisch mit Parametern und im Exact-Modus mit Matrizen rechnen und k"onnen 
z.B. Determinanten und Inverse bestimmen und die Gauss-Elimination 
durchf"uhren. 



\subsubsection*{Schlussbemerkungen}

In einem neulich erschienenen Papier \cite[2000]{Herget} wurde von den Autoren 
u.a. die Frage gestellt, ob in Zukunft bei der Existenz von CAS die 
Primfaktorzerlegung von 30 noch "`h"andisch"' machbar sein m"usse. 
Ohne auf den Sinn 
oder Unsinn dieser Fragestellung eingehen zu wollen: Wer soweit kommt, dass er 
den FX-2.0 oder den TI-89 sinnvoll bedienen kann, wird wohl noch ganz andere 
Dinge im Kopf machen k"onnen \dots \ . 

In der deutschen Schulrealit"at sind der TI-92 und der 
TI-89 ziemlich bekannt, Texas 
Instruments dominiert und f"ordert stark die T$^3$-Initiative (Teachers Teach 
with Technology). Der FX-2.0 ist erst seit kurzem auf dem deutschen Markt 
erh"altlich, der Cassiopeia ist "`brandneu"'. Dementsprechend gibt es noch wenig 
Schulerfahrung mit diesen Ger"aten. Als eines der Nachfolgeprojekte des Baden-
W"urttembergischen CAS-Projekts {\it Mobiles Klassenzimmer} (vgl.\
\cite[1998]{Henn} arbeitet eine Oberstufenklasse auch mit dem Cassiopeia. 

Keiner der drei Rechner ist "`rundherum"' zufriedenstellend, in jedem Fall sind 
aber alle drei in der Schule brauchbar und auf "`dem richtigen Weg"'.  Meiner 
Meinung nach haben FX-2.0 und TI-89 zu viele, f"ur den schulischen Einsatz 
nicht notwendige M"oglichkeiten, die aber die Bedienung unn"otig 
verkomplizieren. Mein Wunsch ist ein TC mit der leichten Bedienbarkeit und dem 
Display des Cassiopeia und dem Preis des FX-2.0. Ich bin sicher, dass dieser 
Wunsch bald in Erf"ullung gehen wird.  

%% \bigskip

%% {\bf Literatur}
\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{Henn}
Henn, H.-W.: Das Pilotprojekt {\it Mobiles Klassenzimmer} 
in Baden-W"urttemberg. -- 
In: Beitr"age zum Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker 1998, 
S. 279 -- 282 

\bibitem{Herget}
Herget, W. u.a.: Welche handwerklichen Rechenkompetenzen sind im CAS-Zeitalter 
unverzichtbar?  -- \URL{http://www.kutzler.com/bk/a-is-g/rech-komp.htm}
\footnote{s.~auch S.~\pageref{page:kutzler} dieses Rundbriefs.}

%%\bigskip
\end{thebibliography}

\begin{flushright}
Hans--Wolfgang Henn (Dortmund)\\
\Mail{Wolfgang.Henn@mathematik.uni-dortmund.de}
\end{flushright}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung      %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
%\newpage %\vspace*{-15mm}

\Abschnitt{Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung}{Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung}{lehre}

\UnterAbschnitt{{\Large \bf \centerline{Welche handwerklichen Rechenkompetenzen}}\\
{\Large \bf \centerline{sind im CAS-Zeitalter
    unverzichtbar?}}}{W. Herget, H. Heugl, B. Kutzler, E. Lehmann, Welche
handwerklichen\\
 Rechenkompetenzen sind im CAS-Zeitalter unverzichtbar?}{page:kutzler}


\vspace{5mm}


{\sl Zusammenfassung: Wir gehen der Frage nach, welche handwerklichen Rechenfertigkeiten
trotz der Verf"ug\-barkeit algebraischer Taschenrechner und Computer mit
Computeralgebrasystemen (CAS) unverzichtbar sind: Was sollte auch in Zukunft jede
Sch"ulerin und jeder Sch"uler noch \glqq per Hand\grqq, d.~h.\ allein mit Schreibstift und Papier,
k"onnen? Dieser Text entstand in einer zweit"agigen Diskussion der vier Autoren zu diesem
Thema. Das vorliegende Ergebnis ist sicherlich eine Herausforderung -- wir m"ochten damit
zu einer breiten Diskussion "uber im Mathematikunterricht zu vermittelnde unverzichtbare,
dauerhaft verf"ugbare Rechenkompetenzen beitragen bzw. eine solche in Gang setzen.}\\

\noindent
{\large \bf Einleitung}\\
Weit verbreitete CAS an deutschen und "osterreichischen Schulen sind das Computerprogramm
Derive und die Taschenrechner TI-92 und TI-89. Einf"uhrungen in die Bedienung dieser
Werkzeuge sind [Kutzler\&Kokol-Voljc 2000] f"ur Derive 5, [Kutzler 1996] f"ur den TI-92 und
[Kutzler 1998] f"ur den TI-89. Diese und "ahnliche Werkzeuge werden an den Schulen bald
ebenso selbstverst"andlich sein, wie es heute numerische Taschenrechner sind.\\

\noindent
{\large \bf Ausgangspunkt: Schriftliche Pr"ufung ohne Rechner}\\
Wir gehen aus von einer zweigeteilten Pr"ufung, bei der ein Teil ohne moderne technische
Hilfsmittel stattfindet -- es darf also nicht einmal ein einfacher wissenschaftlicher
Taschenrechner verwendet werden -- w"ahrend beim zweiten Teil Technologie\footnote{Hier
m"u"ste es richtig \glqq Technik\grqq\ oder \glqq Rechner\grqq\ hei"sen. Das Wort \glqq
Technologie\grqq\ ist laut DUDEN \glqq die Lehre von der Umwandlung von Rohstoffen in
Fertigprodukte.\grqq Allerdings hat sich in der Literatur zur Verwendung von
Taschenrechnern und Computern im Unterricht die Verwendung dieses Wortes eingeschliffen,
weshalb wir -- um Verwirrungen zu vermeiden -- das Wort in diesem Text ebenso einsetzen.}
wie insbesondere leistungsf"ahige Taschenrechner und Computer mit CAS eingesetzt werden
d"urfen. Dieses Modell einer zweigeteilten Pr"ufung wird in manchen L"andern, z.~B. in
"Osterreich, erprobt; in anderen L"andern, z.~B. in England, wird es bereits eingesetzt.
Dieser Ansatz {\sl k"onnte ein Kompromiss} sein, um sowohl den W"unschen der
Technologie-Bef"urworter als auch den Vorbehalten der Technologie-Gegner zu entsprechen.
Prinzipielle Gedanken zu einer zweigeteilten Pr"ufung sind in [Kutzler 1999]
formuliert.\par
Wir stellen uns im Folgenden eine fiktive {\sl schriftliche} technologie-freie Pr"ufung
vor und
suchen nach Aufgaben und Aufgabentypen, die in einer derartigen Pr"ufung gestellt werden
k"onnten.\par
Die Grenzziehung zwischen Aufgaben, die bei einer technologie-freien Pr"ufung
gestellt w"urden, und Aufgaben, die bei einer solchen Pr"ufung nicht gestellt werden
sollten, l"auft auf die eingangs gestellte Frage hinaus, welche handwerklichen
Rechenkompetenzen Sch"ulerinnen und Sch"uler heute noch haben sollten. Die {\sl fiktive
Pr"ufungssituation} ist f"ur uns daher Mittel zum Zweck. Unsere Diskussion und die dabei
erzielten Ergebnisse haben eine weit "uber Pr"ufungssituationen hinausgehende Bedeutung.
Sie ist fundamental f"ur eine Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts in den n"achsten
Jahren und Jahrzehnten. Nachdem die Bedeutung der Rechenfertigkeiten neu "uberdacht und
stark zur"uckgedr"angt wurde, ist es besonders wichtig, die sich daraus f"ur den Unterricht
ergebenden Konsequenzen zu diskutieren. Mit diesem Thema werden wir uns im Anschluss an
diese Arbeit besch"aftigen.\\

\noindent
{\large \bf Drei T"opfe: --T, ?T, +T}\\
Die gesuchte Grenze zwischen Aufgaben, die bei einer fiktiven technologie-freien Pr"ufung
gestellt w"urden, und Aufgaben, die bei einer solchen Pr"ufung nicht gestellt werden
sollten, ist flie"send und h"angt von vielen Parametern ab, nat"urlich auch vom Schultyp.
Wir versuchen eine m"oglichst allgemeing"ultige Antwort und schaffen dazu drei \glqq T"opfe\grqq, die
wir --T, ?T und +T nennen.
\begin{itemize}
\item Der erste Topf, {\bf --T} (= ohne Technologie), beinhaltet jene
Aufgaben, die bei einer technologie-freien Pr"ufung zu stellen w"aren. In diesen Topf
kommen also all jene Aufgaben, von denen wir erwarten, dass Sch"ulerinnen und Sch"uler sie
ohne Zuhilfenahme {\sl irgend}eines Taschenrechners oder Computers l"osen k"onnen.
\item Die durch
den Topf --T bezeichneten Rechenfertigkeiten sollen ab der 8. Jahrgangsstufe gelten bzw.
ab jener Jahrgangsstufe, in der der betreffende Stoff behandelt wird. Diese
Rechenfertigkeiten sollen dann "uber die jeweilige Jahrgangsstufe hinaus {\sl dauerhaft}
erhalten bleiben und wirklich {\sl jederzeit} gefordert werden k"onnen.
\item Der dritte Topf, {\bf +T} (= mit Technologie), beinhaltet jene Aufgaben, die bei
 einer solchen Pr"ufung nicht gestellt werden sollten, d.~h. bei der L"osung dieser Aufgaben darf ein leistungsf"ahiger
Taschenrechner oder ein Computer mit CAS verwendet werden.
\item Der zweite Topf, {\bf ?T}, spiegelt unsere Zweifel, unsere unterschiedlichen
Einstellungen und zum Teil auch die grunds"atzliche Problematik dieses Themas wieder.
Bei den in diesem Topf gelandeten Aufgaben gingen die Meinungen der vier Autoren
auseinander, oder wir waren uns einig, dass wir keine Zuordnung zu einem der beiden
anderen T"opfe vornehmen wollten oder konnten. Dieser Topf kennzeichnet, wie
flie"send die Grenze f"ur uns (noch) ist.
\end{itemize}
Wo immer
es machbar war, haben wir das Spektrum und die Grenzen eines konkreten Aufgabentyps
dadurch abgesteckt, dass wir vergleichbare Aufgabenvarianten f"ur --T und +T angegeben
haben.\\

\noindent
{\large \bf H"ohere Anforderungen in "Ubungsphasen und Unterricht}\\
Die Aufgaben im Topf +T sind solche, die wir in einer technologie-freien Pr"ufung nicht
stellen w"urden -- aber wir w"urden derartige Aufgaben auch in einer Pr"ufung nicht stellen,
bei der moderne Rechner verf"ugbar sind: Denn diese Aufgaben erscheinen uns nur in einem
passenden Problem-Zusammenhang als sinnvoll, nicht aber als isolierter Pr"ufungsteil. Sie
w"aren wohl lediglich im Stande, Fertigkeiten in der Bedienung des Rechners zu testen.
Die von uns in den Topf --T gegebenen Aufgaben beschreiben eine langfristig zu erhaltende
handwerkliche Kompetenz. Um dieses Ziel zu erreichen, sollte sehr wohl in der anf"anglichen
"Ubungsphase \glqq die Latte entsprechend h"oher gelegt\grqq\ werden!
Aus solchen Gr"unden k"onnte es in begrenztem Umfang auch sinnvoll sein, selbst Aufgaben
aus +T im Unterricht sogar {\sl technologie-frei} zu "uben.\\

\noindent
{\large \bf Andere wichtige Kompetenzen}\\
Neben der Rechenkompetenz gibt es auch noch andere, wichtige Kompetenzen, die ihre
Bedeutung im CAS-Zeitalter behalten oder sogar an Bedeutung gewinnen -- jedenfalls
unverzichtbar sind (siehe auch [Heugl 1999]). Beispiele solcher Kompetenzen sind:
\begin{itemize}
\item die Kompetenz, Terme zu finden
\item die Strukturerkennungskompetenz
\item die Testkompetenz
\item die Visualisierungskompetenz
\item die Kompetenz, Technologie passend einzusetzen
\item die Kompetenz, Rechnerarbeit passend zur Aufgabenstellung zu dokumentieren.
\end{itemize}
Zur Visualisierungskompetenz geh"ort z.~B. die F"ahigkeit, eine \glqq richtige
Handbewegung\grqq\ ausf"uhren zu k"onnen, wenn der Verlauf des Graphen von zum Beispiel
$x^2$ oder $\sin(x)$ gefragt ist.\par
In der Gesamtheit der im Mathematikunterricht zu vermittelnden Kompetenzen kommt der
Rechenkompetenz eine wichtige Rolle zu. Sie zu vermitteln ist nicht nur Selbstzweck
(dann w"are ihre Bedeutung angesichts leistungsf"ahiger Rechner sehr in Frage gestellt!),
sondern in einem gewissen Rahmen auch erforderlich f"ur den Erwerb und die Nutzung
\glqq h"oherer\grqq\ Kompetenzen wie den oben genannten. Daher spielen die genannten und weitere
Kompetenzen bei der Bewertung der Bedeutung von Rechenfertigkeiten eine mitentscheidende
Rolle und waren deshalb auch Inhalt unserer Diskussion. Zum Teil geht das aus den
Kommentaren hervor, die zu einigen Aufgaben gegeben werden.\\
%\newpage

\noindent
{\large \bf Mathematikunterricht wird nicht einfacher!}\\
Keineswegs glauben wir, dass der Mathematikunterricht in Zukunft einfacher werden wird
-- im Gegenteil. Mit dem in den folgenden Tabellen zum Ausdruck gebrachten geringeren
Anspr"uchen bei handwerklichen Rechenfertigkeiten wird zugleich unsere "Uberzeugung
ausgedr"uckt, dass CAS bald zu einem Standardwerkzeug des Mathematikunterrichtes und
der Mathematikanwender geh"oren wird. In der Folge wird Mathematik nutzbarer und damit
sehr wahrscheinlich auch insgesamt anspruchsvoller, keinesfalls aber trivialer. Wir
wollen nach der ungl"ucklichen Diskussion zum Thema \glqq 7 Jahre Matheunterricht sind
genug\grqq\
nicht eine ebensolche zum Thema \glqq Triviale Termumformungen sind genug\grqq\ aufkommen lassen.
Zentral f"ur uns ist eine Unterscheidung zwischen den Zielen \glqq Rechnungen ausf"uhren
k"onnen\grqq\
(das kann teilweise an den Rechner delegiert werden) und \glqq "uber Strategien entscheiden
k"onnen\grqq\ (das kann der Rechner {\bf nicht} "ubernehmen.)\par
Selbstverst"andlich haben die folgenden Darlegungen Auswirkungen auf viele Bereiche des
Mathematikunterrichts und sein Umfeld: Auf die Unterrichtsf"uhrung, auf neuartige
"Ubungsformen, auf Hausarbeiten, Lehrpl"ane, auf die Unterrichtsinhalte in den sp"ateren
Jahrg"angen, auf die erforderlichen Kompetenzen der Lehrenden usw. Wir haben solche Aspekte
zwar andiskutiert, aber nicht ausdiskutiert. Sie werden deshalb hier nicht
angesprochen.\\

\noindent
{\large \bf Unser Ziel:
dauerhaft verf"ugbare Mindest-Rechenkompetenzen}\\
Es ist unser Ziel, mit diesem Bericht die erforderliche und zum Teil schon "uberf"allige
Diskussion "uber inhaltliche, didaktisch-methodische und organisatorische Konsequenzen des
Einsatzes von CAS und anderer Mathematik-Software in Gang zu bringen bzw. zu
f"ordern.\par
Dieser Text ist daher bewusst herausfordernd, vielleicht sogar provokativ. Es gilt, sich
der Herausforderung durch die neuen M"oglichkeiten zu stellen und daraus Konsequenzen zu
ziehen. Das verlangt insbesondere auch die Bereitschaft, von Vertrautem Abschied zu
nehmen, wenn dies als sinnvoll oder sogar unvermeidbar erkannt wird.\\

\noindent
{\large \bf Aufgaben und Aufgabentypen}\\
Wir beschr"anken uns in dieser Arbeit auf Aufgaben, zu deren L"osung leistungsf"ahige
Taschenrechner und Computer mit CAS verwendet werden k"onnen.\\

\noindent
{\large Arithmetik -- langfristige Mindestkompetenzen}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & Berechne $3\cdot 40$ && Berechne $3.2987 \cdot 4.1298 $ \\ \hline
\sl 02 & Berechne $\sqrt{81}$ && Berechne $\sqrt{80}$ auf ... Stellen \\ \hline
\sl 03 & Sch"atze  $\sqrt{80}$ && Ziehe teilweise die Wurzel:  $\sqrt{80}$ \\ \hline
\sl 04 &&& Berechne  $\sqrt{11\cdot \sqrt[3]{11}}$ \\ \hline
\sl 05 & Faktorisiere 15 && Faktorisiere 30 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Das Beispiel $\sqrt{80}$ (mit den Varianten --T03, +T02 und +T03) zeigt, wie wichtig
die Aufgaben-Formu\-lierung f"ur die Entscheidung, in welchen Topf die Aufgabe kommt,
ist. Je geringer die Bedeutung der handwerklichen Rechenfertigkeit, desto h"oher ist
die Bedeutung einer passenden Aufgabenformulierung, um die Zielsetzung der Aufgabe
zu verdeutlichen. An weiter unten gegebenen Aufgabentypen wird das noch klarer.
Beim Lernziel \glqq Werte sch"atzen k"onnen\grqq\ waren wir uns einig, dass diese
F"ahigkeit weit "uber das Beispiel (--T03) hinaus erw"unscht, also allgemein so wichtig
ist, dass es ohne Rechnereinsatz erreicht werden sollte. Dennoch kann hier der Einsatz
eines Rechners im Unterricht sinnvoll sein, zum Beispiel als Kontrollwerkzeug, um
die G"ute der Sch"atzung zu pr"ufen -- und den Fehler zu bestimmen -- oder den Sinn des
Sch"atzens "uberhaupt zu verdeutlichen.\par
Um m"oglichen Missverst"andnissen zu begegnen: Die Aufgaben im Topf +T sind, wie oben
ausgef"uhrt, solche, die wir in einer technologie-freien Pr"ufung nicht stellen w"urden.
Allerdings w"urden wir solche Aufgaben auch in einer technologie-unterst"utzten Pr"ufung
nicht stellen, weil diese Aufgaben als solches nutzlos erscheinen und einzig die
Fertigkeit in der Bedienung eines Werkzeuges testen.\par
Die Aufgaben aus +T verlangen allein die {\sl Fertigkeit,} den betreffenden, z.~B. aus einer
umfassenderen Aufgabe stammenden Rechenausdruck auszuwerten. Dies kann langfristig an
den Taschenrechner delegiert werden. Sehr wohl aber ist sicherzustellen, dass die
Sch"ulerinnen und Sch"uler {\sl verstehen,} was derartige Rechenausdr"ucke bedeuten -- um ein
solches {\sl Verst"andnis} abzupr"ufen, bedarf es aber ganz anderer Aufgabentypen!\par
Allerdings -- auch dies zur Erinnerung -- k"onnten Aufgaben aus +T sehr wohl im Unterricht
ge"ubt werden, und zwar mit und ohne Rechner-Nutzung. Dies k"onnte je nach Situation
angebracht oder sogar erforderlich sein, um die von uns in den Topf --T gegebenen
Aufgaben als langfristig zu erhaltende handwerkliche Kompetenz zu sichern.\par
F"ur unsere Vorschl"age gilt grunds"atzlich, dass elementare Rechenschritte (wie das
Faktorisieren einer Zahl mit nur zwei Faktoren, z.~B. 15) zu den unverzichtbaren
Kompetenzen (und damit in den Topf --T) geh"oren, wohingegen Rechenschritte, die
eine wiederholte Anwendung elementarer Rechenschritte erfordern (wie das Faktorisieren
einer Zahl mit drei oder mehr Faktoren, z.~B. 30) man bereits dem Rechner "uberlassen
darf.\\

\noindent
{\large Br"uche und Bruchterme -- langfristige Mindestkompetenzen}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & Vereinfache $\frac{10^2}{5^2}$ && Vereinfache $7\cdot\frac{2}{5}:\frac{4}{6}$ \\ \hline
\sl 02 & Vereinfache $\frac{10^2}{10^5}$ && Vereinfache $\frac{100x^3y^2}{10xy^5}$ \\ \hline
\sl 03 & Vereinfache $2:\frac{1}{2}$ &&  \\ \hline
\sl 04 & Vereinfache $\frac{2}{\frac{1}{2}}$&& \\ \hline
\sl 05 & Vereinfache $\frac{5a}{5}$ && \\ \hline
\sl 06 & Vereinfache $\frac{a}{5} \cdot 5$ && \\ \hline
\sl 07 & Vereinfache $\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{y}$ && Vereinfache $\frac{a}{b}\cdot\frac{b^2}{3ac}$ \\ \hline
\sl 08 &&& Vereinfache $3 x^2:\frac{2x}{5y^3}$\\ \hline
\sl 09 & Vereinfache $2a - \frac{a}{3}$ && Vereinfache $2a - \frac{a}{3}+\frac{a}{7}$\\ \hline
\sl 10 & Vereinfache $\frac{a}{3}+ \frac{a}{7}$ && \\ \hline
\sl 11 & Vereinfache $\frac{5}{x} - \frac{2}{x}$ && \\ \hline
\sl 12 & Vereinfache $\frac{2}{x} - \frac{5}{y}$ & Vereinfache $\frac{2}{x}- \frac{x}{5}$& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{1cm}p{15.8cm}}
--T01:& Hier sollte die naheliegende Rechnung $\frac{100}{25}=4$ gesehen werden. Auch das will
gekonnt sein!\\[0.2cm]
--T02:& Ausdr"ucke dieser Art werden in der Physik gebraucht.\\[0.2cm]
--T03:& Eine sich hieraus ergebende alternative Fragestellung (mit h"oherem
Anspruch) w"are: {\sl \glqq Warum } ist $2:\frac{1}{2}$ gleich 4?\grqq\ Damit w"urde
die dahinterstehende Strukturerkennungskompetenz an\-ge\-sprochen.
\end{tabular}
\end{center}
Die Regel $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$  soll bewusst nicht als
Formel \glqq abgefragt\grqq\ werden. Sie ist f"ur uns ein {\sl Hintergrund-Ziel -- ein
Ziel,} das in dieser Form in einer schriftlichen Pr"ufung nicht explizit abgefragt zu werden
braucht.\par
Das Auswendiglernen dieser Formel f"uhrt eher dazu, dass Sch"uler sie beim Addieren von
Br"uchen \glqq stur\grqq\ verwenden, statt den in vielen F"allen g"unstigeren Weg
der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen beider Nenner zu gehen. Auch
$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ ist f"ur uns ein solches
Hintergrund-Ziel. Dennoch sind diese Formeln (die in gleicher Weise auch vom
CAS erzeugt werden) ein wichtiges Thema im Unterricht, da es hierbei u.~a.
um Beispiele f"ur die unerl"assliche Strukturierung mathematischer Sachverhalte geht.\\

\noindent
{\large Terme -- mit und ohne Klammern  -- langfristige Mindestkompetenzen}\\[3mm]
Wie bereits erw"ahnt ist die Aufgabenformulierung f"ur den Wert einer Aufgabe
mitentscheidend. In der folgenden Tabelle haben wir daher bewusst auf die "ubliche
Aufforderung \glqq Multipliziere aus\grqq\  verzichtet und statt dessen \glqq Schreibe
ohne Klammern\grqq\ verlangt. W"ahrend Ersteres die Anwendung des Distributivgesetzes
suggeriert ist Letzteres neutral und erh"oht damit den Wert der Aufgabe.
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & Schreibe ohne Klammern:\newline $a-(b+3)$ & Schreibe ohne Klammern:\newline $(5+p)^2$ &
         Schreibe ohne Klammern:\newline $3a^2(5a-2b)$\\ \hline
\sl 02 & Schreibe ohne Klammern:\newline $2(a+b)$ && Schreibe ohne Klammern:\newline $(a^2-3b)(-3a+5b^2)$\\ \hline
\sl 03 & Schreibe ohne Klammern:\newline $2(ab)$&& Schreibe ohne Klammern:\newline $(2a+t)^2$\\ \hline
\sl 04 & Schreibe ohne Klammern:\newline $3(5a-2b)$&& Schreibe ohne Klammern:\newline $(5+p)^3$\\ \hline
\sl 05 & Schreibe ohne Klammern:\newline $(3+a)(b-7)$&& \\ \hline
\sl 06 & Schreibe anders: $2a+2b$&& \\ \hline
\sl 07 & Vereinfache $x^2y^2+(xy)^2$&& \\ \hline
\sl 08 & Faktorisiere $3ab+6ac$&& \\ \hline
\sl 09 & Faktorisiere $x^2-4$& Faktorisiere $x^2+4x+4$& Faktorisiere $x^2-x-6$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{1cm}p{15.8cm}}
--T09: & Diese Aufgabe ist wichtig, weil sie Entscheidungs- und Begr"undungskompetenz
entwickeln hilft, was wiederum gebraucht wird, um auf einem Taschenrechner etwa die
Taste \glqq factor\grqq\ sinnvoll w"ahlen zu k"onnen.
\end{tabular}
\end{center}
Ein Hintergrund-Ziel (im Sinne der Bemerkungen zum Abschnitt \glqq Br"uche und Bruchterme\grqq)
ist hier das Distributivgesetz $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.\par
"Uber die Aufgabentypen ?T01 und ?T09 wurde besonders lange diskutiert. Gerade die
eingangs erw"ahnte Strukturerkennungskompetenz w"are laut Meinung eines Teiles unserer
Gruppe ohne die durch diese Aufgaben ausgedr"uckte Rechenkompetenz nicht
gew"ahrleistet. Auf der anderen Seite wurden in den "osterreichischen
Computeralgebra-Projekten Anzeichen daf"ur gefunden, dass durch das Verwenden von
Technologie die Strategiekompetenz gef"ordert wird, ohne dass eine gute
Entwicklung von Rechenkompetenz an dieser Stelle unbedingt erforderlich w"are.\\[0.2cm]

\noindent
{\large Lineare Gleichungen -- langfristige Mindestkompetenzen}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & L"ose nach $x: x-6=0$ && \\ \hline
\sl 02 & L"ose nach $x: 5-x=2$ && \\ \hline
\sl 03 & L"ose nach $x: 3x=12$ && \\ \hline
\sl 04 & L"ose nach $x: 5x-6=15$ && L"ose nach $x: 5x-6=2x+15 $ \\ \hline
\sl 05 & L"ose nach $y: \frac{y}{3}=5 $ && L"ose nach $x: 2x+3=\frac{4}{3}$ \\ \hline
\sl 06 & L"ose nach $x: a \cdot x = 5 $ & L"ose nach $x: a\cdot x-6=15 $ & \\ \hline
\sl 07 & L"ose nach $x: x+1=x $ & L"ose nach $x: 2(x+1)=2x $ & \\ \hline
\sl 08 & L"ose nach $x: x+1=x+1 $ & L"ose nach $x: 2(x+1)=2x+2 $ & \\ \hline
\sl 09 & L"ose nach $t: s=v\cdot t $ & L"ose  nach $x: K=k\cdot x+F $ & \\ \hline
\sl 10 & L"ose nach $r: U=2r\pi $ && \\ \hline
\sl 11 & L"ose nach $x: |x|=1 $ && \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{p{1cm}p{15.8cm}}
--T06: & Dieses Beispiel ist wichtig, weil die heute verf"ugbaren CAS die hier
erforderliche Fallunterscheidung bez"uglich $a$ nicht machen.\\[0.1cm]
--T11: & Da bei einem CAS die Betragsfunktion oft im Ergebnis auftritt,
sollen Sch"ulerinnen und Sch"uler diese Funktion kennen und in einfachen Situationen
wie hier auch technologie-frei handhaben k"onnen.
\end{tabular}
\end{center}
%\newpage
\noindent
{\large Quadratische Gleichungen -- langfristige Mindestkompetenzen}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & L"ose nach $x: x^2=4$ && L"ose nach $x: 9x^2=4$ \\ \hline
\sl 02 & L"ose nach $x: x^2-4=0$ && L"ose nach $x: 9x^2-4=0$ \\ \hline
\sl 03 & L"ose nach $x: x^2-x=0$ && \\ \hline
\sl 04 & L"ose nach $x: x^2-4x=0$ & L"ose nach $x: x^2+4x+4=0$& L"ose nach $x: 2x^2-5x+9=0$ \\ \hline
\sl 05 & L"ose nach $x: x^2=a$ && \\ \hline
\sl 06 & L"ose nach $r: A=4\pi r^2 $ && L"ose nach $v_0: x=\frac{1}{2a}\cdot v^2_0$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
+T04 und ?T04 markieren eine der auf den ersten Blick einschneidendsten Ver"anderungen:
Die \glqq $p$-$q$-Formel\grqq\ f"ur die L"osung einer quadratischen Gleichung z"ahlt f"ur uns
nicht mehr zum verbindlichen Katalog der sicheren handwerklichen F"ahigkeiten, bleibt
aber wegen ihrer Bedeutung und den typischen Fallunterscheidungen eines der
Hintergrund-Ziele. Das bisher "ubliche L"osen quadratischer Gleichungen nach Rezept
(ob mit einer der Formeln oder jeweils mit quadratischer Erg"anzung) ist unserer
"Uberzeugung nach ein \glqq aussterbendes Rezept\grqq\ (vgl. [Herget 1996].)
Entsprechend sind Rechenstab und Logarithmentafel fast \glqq "uber Nacht\grqq\ aus
dem Mathematikunterricht verschwunden, als die umfangreichen Berechnungen den
Taschenrechnern "ubertragen werden konnten.\\

\noindent
{\large Ungleichungen -- langfristige Mindestkompetenzen}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & F"ur welche $x$ gilt: $x-2<4$ & F"ur welche $x$ gilt: $x-2<x+3$
       & F"ur welche $x$ gilt: \newline $3x+1<2x-1$ \\ \hline
\sl 02 & F"ur welche $x$ gilt: $-2x<4$&&F"ur welche $x$ gilt: $\frac{1}{x-1}\leq 2$ \\ \hline
\sl 03 & F"ur welche $x$ gilt: $x<x+1$&& F"ur welche $x$ gilt: $ax<4$  \\ \hline
\sl 04 & F"ur welche $x$ gilt: $x<x$&& \\ \hline
\sl 05 && F"ur welche $x$ gilt: $|x|<1$ &  F"ur welche $x$ gilt: $|x-2|<1$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Bei den Ungleichungen ist beim Einsatz von CAS besonders deutlich eine Verschiebung
von der Rechen- zur Visualisierungskompetenz beobachtbar.\\

\noindent
{\large Differenzieren -- langfristige Mindestkompetenzen}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.5cm}|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline
& \sl --T (ohne Technologie) & \sl ?T & \sl +T (mit Technologie) \\ \hline\hline
\sl 01 & Diff. nach $x: y=x^4$ && \\ \hline
\sl 02 & Diff. nach $x: y=7x^2+3x+1$ && \\ \hline
\sl 03 & Diff. nach $x: y=\frac{1}{x^2}$ && \\ \hline
\sl 04 & Diff. nach $x: y=3$ && \\ \hline
\sl 05 & Diff. nach $x: y=\sqrt{x}$ && \\ \hline
\sl 06 & Diff. nach $x: y= \sin x$ & Diff. nach $x: y=x^2+\cos x$& Diff. nach $x: y=x\sin x$ \\ \hline
\sl 07 && Diff. nach $x: y=2\cos x$ & Diff. nach $x: y=\sin^2 x$ \\ \hline
\sl 08 && Diff. nach $x: y=3\sin 2x$ & Diff. nach $x: y=\frac{\sin x}{x}$ \\ \hline
\sl 09 & Diff. nach $x: y=e^x$ & Diff. nach $x: y=e^{2x}$ & Diff. nach $x: y=2^x$ \\ \hline
\sl 10 & Diff. nach $x: y=\ln x$ && \\ \hline
\sl 11 & Diff. nach $x: y=|x|$ && \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Diese Tabelle kennzeichnet einen weiteren Schwerpunkt der zuk"unftigen Entwicklung:
Gerade im klassischen Analysisunterricht dominieren die Rechenfertigkeiten. Daher ist
hier besonderer Ver"anderungsbedarf beim Einsatz moderner Technologie gegeben.\\

\noindent
{\large \bf Schlussbemerkung und Bitte}\\
Wie eingangs erw"ahnt, m"ochten wir diesen Beitrag als Ansto"s f"ur eine m"oglichst
breite Diskussion verstanden wissen. Unser Ziel war es nicht, eine feinsinnige,
m"oglichst unangreifbare didaktische Analyse vorzulegen -- uns ging es vielmehr um
eine pragmatische, knappe Darstellung unserer augenblicklichen Einsch"atzung zum sehr
vielschichtigen Problem der handwerklichen Rechenf"ahigkeiten. Wir sind uns bewusst,
welche Herausforderung unsere Position bedeutet und wie sehr damit vertraute Grundpfeiler
des Mathematikunterrichts ins Wanken geraten. Schreiben Sie uns Ihre Meinung.\\
%
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{} Herget, Wilfried, 1996.: Rettet die Ideen! -- Rettet die Rezepte?  In: Hischer,
H. / Wei"s, M. (Hrsg.): Rechenfertigkeit und Begriffsbildung -- Zu wesentlichen Aspekten
des Mathematikunterrichts vor dem Hintergrund von Computeralgebrasystemen.
Hildesheim: Franzbecker, S.156-169.
\bibitem{} Herget, Wilfried, 1999: Wie viel Termumformung braucht der Mensch? -- Taschencomputer
und Mathematikunterricht.  In: Amelung, Udo (Hrsg.): Der TI-92 im Mathematikunterricht.
Pfingsttagung 1998. Zentrale Koordination Lehrerausbildung, ZKL-Texte Nr. 7,
Westf"alische Wilhelms-Universit"at, M"unster, S. 3-19.
\bibitem{} Heugl, Helmut, 1999: The necessary fundamental algebraic competence in the age
of Computeralgebra Systems. Proceedings of the 5th ACDCA Summer Academy, 1999,
\URL{http://www.acdca.ac.at}.
\bibitem{} Kutzler, Bernhard, 1996: Symbolrechner TI-92 (Computeralgebra im Taschenformat).
Bonn: Addison-Wesley.
\bibitem{} Kutzler, Bernhard, 1998: Einf"uhrung in den TI-89. Hagenberg: bk teachware.
\bibitem{} Kutzler, Bernhard, 1999: Der algebraische Taschencomputer als p"adagogisches
Werkzeug. Bonn: Profil -- Zeitschrift des Deutschen Philologenverbandes,
M"arz, April 1999. Auch: \URL{http://www.kutzler.com}.
\bibitem{} Kutzler, Bernhard \& Kokol-Voljc, Vlasta, 2000: Introduction to Derive 5.
Hagenberg: Soft Warehouse Europe.
\bibitem{} Lehmann, Eberhard, 1999a: Terme im Mathematikunterricht unter Verwendung von
Computergrafik und Computeralgebra, Hannover: Schroedel-Verlag.
\bibitem{} Lehmann, Eberhard, 1999b: Neue Aspekte im Unterricht "uber Terme durch Einsatz
von Computeralgebra-Systemen. Erstellt f"ur das BLK-Programm SINUS im Auftrag
des IPN Kiel.
\end{thebibliography}

\begin{flushright}
Wilfried Herget (Halle), \URL{herget@mathematik.uni-halle.de}\\
Helmut Heugl (Wien), \URL{hheugl@netway.at}\\
Bernhard Kutzler (Leonding), \URL{b.kutzler@eunet.at}\\
Eberhard Lehmann (Berlin), \URL{mirza@berlin.snafu.de}
\end{flushright}

\vspace*{5mm}
\hrule
\vspace*{5mm}

{\Large \bf \centerline{Unterrichtsmaterialien im Internet}}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\normalsize \sl
Unterrichtsmaterialien im Internet}
\vspace{5mm}
\noindent
Das Internet ist bekanntlich ein ziemlich chaotisches Sammelsurium von
Materialien, welche nicht alle einen gleich hohen Qualit"atsstandard haben.
Ferner sind einige Internetseiten recht kurzlebig. Aus diesem Grund
haben wir nun damit begonnen -- wie im letzten Rundbrief bereits angek"undigt --
Materialien, welche im Internet zur Verf"ugung gestellt
werden und welche sich mit dem Einsatz von Computeralgebra im Unterricht
besch"aftigen, zu begutachten.

Bei positiver Begutachtung werden wir diese Materialien in einer 
regelm"a"sigen Rubrik des Computer\-algebra-Rundbriefs mit einer kurzen 
Inhaltsangabe ver"offentlichen. Diese Ver"offentlichungen werden mit
dem Datum der Annahme versehen, da wir nat"urlich nicht garantieren k"onnen, wie
lange diese Materialien unter der jeweils ver"offentlichten Adresse zur
Verf"ugung stehen. 

Ich m"ochte Sie nochmals ausdr"ucklich auffordern, mir Internetseiten 
vorzuschlagen, welche f"ur Sch"uler, Lehrer, Studenten oder Hochschullehrer
interessant sein k"onnten. Scheuen Sie sich auch nicht davor, eigene
Seiten zu benennen. Wir wollen gerne die besten Seiten unseren Mitgliedern
empfehlen.

Heute m"ochte ich Sie zun"achst auf die (teilweise offiziellen, teilweise
inoffiziellen) Internetseiten der Ministerien und Landesinstitute hinweisen,
welche in meinem Artikel "uber die Thurnau-Tagung auf 
S.~\pageref {page:bw}--\pageref{page:th} angegeben sind. Diese Seiten
enthalten viele Informationen "uber den Einsatz von Computeralgebra bzw.\
von Computern im allgemeinen in den einzelnen Bundesl"andern, einige
auch noch sehr viel mehr. 

Weitere offizielle Adressen der Bundesl"ander
wie beispielsweise Bildungsserver finden Sie bei der Adresse
\URL{http://www.mathematik.uni-kassel.de/\~{}koepf/bundeslaender.html},
welche auch von unserer Homepage \URL{http://www.gwdg.de/\~{}cais} aus
erreicht werden kann.

Als Modell einer Ver"offentlichung im Rundbrief stelle ich Ihnen heute
die Seite des "osterreichischen TI-DERIVE-Projektes vor.

\newcommand{\httpbox}[3]{
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{17cm}|}
\cline{1-1}\\[-3mm]
{\large{\URL{#1}}}\hfill #2
\\[3mm]
\begin{small}
#3
\end{small}
\\[0.5mm]
\cline{1-1} 
\end{tabular}
\end{center}
}

\httpbox{http://www.acdca.ac.at}{26.\ September 2000}
{Dies ist die Homepage des Vereins
ACDCA ({\sl Austrian Center for Didactics of Computer 
Algebra}). Hier sind alle Materialien, welche im Zusammenhang mit den
drei offiziellen Schulprojekten in "Osterreich (CAS I (Derive) 1992/93, 
CAS II (TI) 1997/98, CAS III (TI) 1999/2000) entstanden, gesammelt
und stehen zum Download bereit.

Zu diesen  Materialien geh"oren Projektevaluierungen und -berichte genauso
wie eine nach Klassenstufen sowie nach Themen abrufbare Sammlung von 
Unterrichtsmaterialien. Diese Datenbank umfa"st sowohl die Materialien zum
Herunterladen als auch eine Sammlung von 75 B"uchern und 22 Handreichungen
zum Thema.

Diese Seite ist f"ur jeden hilfreich, der mit einem der 
TI-Computeralgebrarechner oder mit Derive arbeitet. Andere 
Computeralgebrasysteme spielen keine Rolle.

}

\begin{flushright}
Wolfram Koepf (Kassel)
\end{flushright}



%%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%           Netzinformationsdienste                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\Abschnitt{Netzinformationsdienste zu Mathematik und Computeralgebra}{Netzdienste zu Mathematik und Computeralgebra}{infoca}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Berichte "uber Arbeitsgruppen                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Abschnitt{Berichte "uber Arbeitsgruppen}{Berichte "uber Arbeitsgruppen}{BerAGs}

    \UnterAbschnitt{\centerline{Das SINGULAR-Projekt  an der Universit"at Kaiserlautern}}{Das SINGULAR-Projekt  an der Universit"at Kaiserlautern}{gruppe_singular}

Computeralgebra wird an der Universit"at Kaiserslautern an den Fachbereichen 
Mathematik und Informatik betrieben. Fachbereichs"ubergreifend existiert das
Zentrum fuer Computeralgebra der Fachbereiche Mathematik, Informatik und
Elektrotechnik, "uber das zu einem sp"ateren Zeitpunkt gesondert berichtet
wird.

Im Beitrag auf Seite \pageref{singular} unter der Rubrik ''Neues "uber System
und Hardware'' wird das SINGULAR-Projekt beschrieben.\\

\noindent
{\bf Kurze Geschichte von SINGULAR}

\noindent
Die ersten Ueberlegungen, ein Paket fuer Standardbasen in lokalen Ringen zu
implementieren, stammt aus dem Jahr 1984, als Greuel und Pfister in einer
gemeinsanmen Arbeit die Verallgemeinerung einer Vermutung von K. Saito 
numerisch so formulierten, dass sie rechnerisch widerlegbar wurde.
\begin{itemize}
\item 1987 implementierten Pfister und Schoenemann in Berlin das Programm Buchmora
in Modula-2 f"ur Atari. Widerlegung obiger Vermutung.  
\item 1989 Umbenennung von Buchmora in SINGULAR und Weiterentwicklung als gemeinsames
Projekt von Greuel (Kaiserslautern) und Neuendorf/Pfister/Sch"onemann (Berlin).
\item 1990 Portierung nach Unix, erstes User Manual, ''Heimatstadt'' Kaiserslautern.
\item 1993 Neuimplementierung in C/C++, SINGULAR-Programmiersprache, Bibliotheken.
\item 1996 Uni- und multivariate Polynomfaktorisierung, gcd.
\item 1997 SINGULAR 1.0: Polynomfaktorisierung, Aufl"osungen, communication links
\item 1998 SINGULAR 1.2: schneller, Prim"arzerlegung, Ring-Normalisierung
\item 2000 Singular 2.0: viel schneller, numerische Datentypen und Algorithmen.
\end{itemize}

\noindent
{\bf Mitarbeiter:}

\noindent
Verantwortliche Leiter: G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Sch"onemann\\
Aktuelle Mitarbeiter: O. Bachmann, W. Pohl\\
Weitere Mitarbeiter:\\ 
Kaiserslautern: T. Bayer, A. Fr"uhbis-Kr"uger,  C. Gorzel, K. Kr"uger, M. Lamm, C. Lossen, T. N"ussler, J. Schmidt, M. Schulze, R. Stobbe, M. Wenk\\
Saarbr"ucken: W. Decker, A. Heydtmann,. M. Mesollen, C. Theiss\\
Cottbus: B. Martin, T. Siebert\\
Berlin: H. Grassmann, W. Neumann\\
Mainz: S. Endrass\\
Dortmund: D. Hillebrand\\
Valladolid: P. Gimenz, I. Faran\\
La Laguna: I. Bermejo\\
Dar"uberhinaus werden in Diplomarbeiten st"andig neue Bibliotheken sowie Teile 
des Kerns zu SINGULAR hinzugef"ugt.\\

\noindent
{\bf F"orderung:}

\noindent
Das SINGULAR-Projekt wurde durch Mittel der Volkswagen-Stiftung, durch zwei DFG
Schwerpunkte sowie durch Mittel der Stiftung Rheinland-Pfalz f"ur Innovation
gef"ordert.

Die SINGULAR-Gruppe unterst"utzt die Philosophie der freien Software und
deshalb wird SINGULAR nicht-kommerziell und frei erh"altlich bleiben.



\vskip 2em
\hrule

\vspace{-5mm}

\UnterAbschnitt{\centerline{Arbeitsbereich {\sl Computational Mathematics} an der} \\
       \centerline{Universit"at Gesamthochschule Kassel}}{Arbeitsbereich {\sl Computational
       Mathematics} an der Univ. Kassel}{caKassel}


\noindent

\noindent
Unsere Arbeitsgruppe \URL{<http://www.mathematik.uni-kassel.de/\~{}compmath>},
welche im letzten Rundbrief vorgestellt wurde, hat sich -- wie bereits 
angek"undigt -- zum Wintersemester 2000/2001 durch eine Neuberufung 
vergr"o"sert.

\noindent
Neue Mitglieder der Arbeitsgruppe sind
\begin{itemize}
\item
Prof.\ Dr.\ Hans-Georg R"uck (Zahlentheorie, elliptische Kurven, Abelsche 
Variet"aten, Drinfeld-Moduln, Public-Key-Kryptographie)
\item
Dr. Markus Wessler (Kryptographie mit elliptischen und hyperelliptischen Kurven).
\end{itemize}
Wir m"ochten ferner auf eine freie Mitarbeiterstelle ($1/2$ BAT IIA)
aufmerksam machen. Details zu der zu besetzenden Stelle gibt es bei
\URL{http://www.uni-kassel.de/pvabt3/stellen/extern/841.ghk}.



\vskip 2em
\hrule

\vspace{-5mm}

\UnterAbschnitt{\centerline{Computeralgebra am IWR Heidelberg}}{Computeralgebra am IWR Heidelberg}{caIWR }


Seit der erstmaligen Vorstellung im Jahr 1994 hat sich die Zusammensetzung
wie auch die Ausrichtung der Arbeitsgruppe Computeralgebra am IWR
(Interdisziplin\"ares Zentrum f\"ur Wissenschaftliches Rechnen) an der
Universit\"at Heidelberg erheblich gewandelt. Ursache hierf\"ur war die
Wegberufung der beiden Dozenten G. Hi"s und G. Malle nach Aachen bzw.
Kassel und das Hinzusto"sen neuer Mitglieder zu der Gruppe. Daher soll in
diesem Heft der alte Bericht durch eine aktuelle Information ersetzt werden.

\noindent
{\bf Mitglieder der Arbeitsgruppe:}\\
Leitung: Prof. Dr. B. H. Matzat, PD Dr. G. Kemper, PD Dr. P. M\"uller\\
Weitere Mitglieder: Dr. M. Dettweiler, J. Hartmann, Dr. J. Kl\"uners,
T. Oberlies, Dr. S. Reiter

\noindent
{\bf Homepage:} \URL{http://www.iwr.uni-heidelberg.de/iwr/compalg}


\noindent
{\bf Arbeitsgebiete:}

\begin{itemize}
\item Konstruktive inverse Galoistheorie. Dabei Erstellung einer Datenbank
f\"ur Polynome mit gegebener Galoisgruppe (in Zusammenarbeit mit G. Malle
in Kassel)

\item Arithmetische Anwendungen endlicher Gruppentheorie, z.B. auf
Hilbertmengen

\item Algorithmische Invariantentheorie. Dabei Erstellung einer Datenbank
f\"ur Invarianten endlicher Gruppen

\item Konstruktive Differential-Galoistheorie: Algorithmen und inverses Problem

\item Konstruktive Idealtheorie und nichtlineare Gleichungssysteme

\end{itemize}


\noindent
{\bf Literatur:}

\noindent
[1] H. Derksen, G. Kemper: Computational Invariant Theory. Springer-Verlag
(in Vorbereitung)

\noindent
[2] M. Dettweiler, S. Reiter: An algorithm of Katz and its application to
the inverse Galois problem (in [6])

\noindent
[3] K. Geissler, J. Kl\"uners: Galois group computation for rational
polynomials (in [6])

\noindent
[4] G. Malle, B. H. Matzat: Inverse Galois Theory. Springer-Verlag,
Heidelberg 1999

\noindent
[5] B. H. Matzat, G. M. Greuel, G. Hi"s (Eds.): Algorithmic Algebra and
Number Theory. Springer-Verlag, Berlin 1999

\noindent
[6] B. H. Matzat, J. McKay, K. Yokoyama (Eds.): Algorithmic Methods in
Galois Theory. Special issue of JSC (erscheint Dez. 2000)

\noindent
[7] B. H. Matzat, M. van der Put: Iterative differential equations and the
Abhyankar conjecture. Preprint 2000

\noindent
[8] P. M\"uller: Hilbert's irreducibility theorem for prime degree and
general polynomials. Israel J. Math. 109 (1999), 319-337.






% \UnterAbschnitt{ALT!! Computeralgebra an der Universit"at Leipzig}{ALT!! Computeralgebra an der Universit"at Leipzig}{caLeipzig}

% \bigskip

% Aus einer urspr"unglich umfangreicheren Arbeitsgruppe um Prof.
% Wolfgang La"sner besch"aftigen sich an der Fakult"at f"ur Mathematik
% und Informatik der Universit"at Leipzig heute noch PD Dr. Joachim Apel
% (Mathematisches Institut) und PD Dr. Hans-Gert Gr"abe (Institut f"ur
% Informatik) unmittelbar mit Themen aus dem Bereich des Symbolischen
% Rechnens.
% ...
% \medskip

% \begin{flushright}
% Joachim Apel, Hans-Gert Gr"abe (Leipzig)
% \end{flushright}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Publikationen                                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\newpage % \vspace*{-15mm}

\Abschnitt{Publikationen "uber Computeralgebra}{Publikationen "uber Computeralgebra}{publ}

\begin{itemize}
 
 
\item {Erk, K., Priese, L.}, { \sl Theoretische Informatik}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 3-540-66192-1}, {2000}, {pp. 433 S.}, DM 59,00. 
 
\item {Gramlich, G., Werner, W.}, { \sl Numerische Mathematik mit Matlab}, {\dpunkt}, {\Adpunkt}, {ISBN 3-932588-55-X}, {2000}, {pp. 456 S.}, DM 89,00. 

Das Buch wird in diesem Rundbrief auf Seite \pageref{numMath} besprochen. 

\item {Hibbard, A., Levasseur, K.}, { \sl Exploring Abstract Algebra with Mathematica}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 0-387-98619-7}, {1999}, {pp. 495}, DM 8
4,-. 
 
\item {Kreuzer, M., Robbiano, L.}, { \sl Computational Commutative Algebra 1}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 3-540-67733-X}, {2000},

\item {Nowottny, D.}, { \sl Mathematik am Computer}, {\Springer}, {\ASpringer}, {ISBN 3-540-88058-5}, {1999}, {pp. 259}, DM 49,90. 

Das Buch wird in diesem Rundbrief auf Seite \pageref{nowottny} besprochen. 

\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Besprechungen zu B"uchern der Computeralgebra               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\newpage  

\Abschnitt{Besprechungen zu B"uchern der Computeralgebra}{Besprechungen zu B"uchern der Computeralgebra}{buchbespr}

%\begin{itemize}

\vspace*{5mm}

\vskip -2em

\UnterAbschnitt{{\bf J. Buchmann, Einf"uhrung in die Kryptographie}}
{J. Buchmann, Einf"uhrung in die Kryptographie}{crypto}

Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1999,\\
 ISBN 3-540-66059-3, pp.229, DM 49,90.\\

\noindent
 Das Buch enth"alt die folgenden Abschnitte:\\
 Ganze Zahlen --- Kongruenzen und Restklassenringe --- Verschl"usselung --- Wahrscheinlichkeit und perfekte Sicherheit --- Der DES-Algorithmus --- Primzahlerzeugung --- Public-Key Verschl"usselung --- Faktorisierung --- Diskrete Logarithmen --- Kryptographische Hash-Funktionen --- Digitale Signaturen --- Andere Gruppen --- Identifikation --- Public-Key-Infrastrukturen.\\
 Aus dem Vorwort : "` Ich wende mich in diesem Buch an Leser, die moderne kryptographische Techniken und ihre mathematischen Fundamente kennenlernen wollen, aber nicht "uber die entsprechenden mathematischen Spezialkenntnisse verf"ugen. Mein Ziel ist es, in die Basistechniken der modernen Kryptographie einzuf"uhren. Ich setze dabei zwar mathematische Vorbildung voraus, f"uhre aber in die Grundlagen von linearer Algebra, Algebra, Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie ein, soweit diese Gebiete f"ur die behandelten kryptographischen Verfahren relevant sind."' \\
Dem Verfasser ist es gelungen, dieser Zielsetzung gerecht zu werden. Alle zum Verst"andnis moderner krytopraphischen Techniken erforderlichen Begriffsbildungen werden in einer sehr klaren Sprache erl"autert und, wenn m"oglich, sogleich an kleinen Beispielen verdeutlicht. Besonderer Wert wird auf die Beschreibung der zugrundeliegenden Ideen gelegt. Der Autor beschr"ankt sich auf die Darstellung derjenigen mathematischen Hilfsmittel, deren Beweis 
nicht mehr als eine Druckseite beansprucht. In der Summe ergibt sich ein Text von hoher Lesbarkeit.\\     
Wer jedoch zum Beispiel Genaueres "uber Primzahlerzeugung oder Faktorisierung erfahren m"ochte, sei auf die Skripten des Autors ( mit Volker M"uller )
 unter\\
 \URL{ftp://ftp.informatik.tu-darmstadt/pub/TI/lecture\_notes/} verwiesen.\\
Die "Ubungsaufgaben (mit L"osungen) sind genau am Text orientiert. Neben Aufgaben, die ein "Uberdenken der im Text gebrachten Argumente und Beweise erfordern, finden sich viele, die den Leser auffordern, die vorgestellten Techniken an moderat gro"sen Beispielen mit Hilfe eines Computer-Algebra Systems zu erproben.\\ (Die im Buch erw"ahnte Programm-Bibliothek LiDIA findet sich unter \\\URL{http://www.informatik.tu-darmstadt.de/TI/LiDIA/}.)
\\
Das Buch hat ein ausreichend detailliertes Sachverzeichnis und ein Literaturverzeichnis, in dem u.a. alle wichtigen, weiterf"uhrenden Werke "uber moderne Kryptographie zu finden sind.  \\
 Nochmals aus dem Vorwort:
 "` Es ist n"otig, da"s die Anwender einsch"atzen k"onnen, ob die benutzten kryptographischen Methoden effizient und sicher genug sind. Dazu m"ussen sie nicht nur wissen, wie die kryptographischen Verfahren funktionieren, sondern sie m"ussen auch deren mathematischen Grundlagen verstehen."'\\
Dies allen zur Beherzigung, die sich der praktischen Seite der Kryptographie zuwenden wollen!\\
Ein lehrreiches und preiswertes Buch.

\begin{flushright}
H. Meyn (Erlangen)
\end{flushright}


\vspace*{5mm}

\vskip -2em

\UnterAbschnitt{{\bf J. von zur Gathen, J. Gerhard, Modern Computer Algebra}}
{J. von zur Gathen, J. Gerhard, Modern Computer Algebra}{modernCA}

Cambridge University Press, Cambridge, 1999, ISBN 0-521-641764, XIV + 754 Seiten\\


\noindent
Das Buch Modern Computer Algebra von J. von zur Gathen und J. Gerhard wird sich
sicher zu einem Standardwerk \"uber Computeralgebra entwickeln. Es ist sehr
liebevoll aufbereitet mit historischen Einleitungen und Anmerkungen, vielen
Beispielen, Bildern und Anwendungen sowie einer Vielzahl von
\"Ubungsaufgaben. Das Buch beginnt mit einer Sammlung motivierender
Anwendungen, u.a. Modellierung von Cyclohexan-Molek\"ulen und
RSA-Verschl\"usselung, die sp\"ater nach der Entwicklung der n\"otigen
Theorie wieder aufgegriffen werden.

\noindent
Die Kapitel sind nach Wegbereitern der Computeralgebra benannt: Euklid,
Newton, Gau"s, Fermat und Hilbert. Das erste startet mit den grundlegenden
Algorithmen zur Multiplikation und Division (mit Rest). Hauptthema aber ist
der Euklidische Algorithmus in verschiedenen Spielarten und Anwendungen wie
Kettenbr\"uche, Partialbruchzerlegung, Resultanten und Subresultanten etc.
Alle diese Algorithmen wie auch die sp\"ateren sind durch sorgf\"altige
Aufwandsanalysen begleitet. Flankiert wird dieses Kapitel durch Ausfl\"uge
in die Kalenderkorrektur, Tonsysteme und die Codierung mit BCH-Codes.

\noindent
Hauptthema des zweiten Kapitels Newton ist die schnelle Arithmetik. Es
beginnt mit einer Darstellung des Karatsuba-Algorithmus, der diskreten und
schnellen Fouriertransformation bis zum Algorithmus von Sch\"onhage und
Strassen. Danach folgt eine Einf\"uhrung des Newtonverfahrens mit
Konvergenzverhalten (Julia-Mengen), Polynomwertberechnung und
Interpolation. Anschlie"send wird mit dem schnellen Euklidischen
Algorithmus das Hauptthema des ersten Kapitels weitergef\"uhrt. Es folgt
ein Kapitel \"uber schnelle Matrixmultiplikation mit dem (ersten)
Algorithmus von Strassen sowie Verfahren f\"ur spezielle Matrizen, z. B.
d\"unn besetzte (Wiedemann). F\"ur die fortgeschritteneren und f\"ur die
Komplexit\"atstheorie interessanten Algorithmen von Strassen und von
Winograd wird auf die Literatur verwiesen. Beschlossen wird das Kapitel mit
der stetigen Fouriertransformation mit Anwendung auf Bildkompression.

\noindent
Das Kapitel Gau"s ist der Faktorisierung von Polynomen gewidmet. Es
enth\"alt zun\"achst Algorithmen zur Faktorisierung von Polynomen \"uber
endlichen K\"orpern, z. B. die Algorithmen von Berlekamp und
Cantor-Zassenhaus. Weiter die Henselsche Liftungsmethode in Polynomringe
\"uber p-adischen Zahlen, die zum Zassenhaus-Algorithmus zur Zerlegung
ganzzahliger Polynome f\"uhrt. Schlie"slich wird die Gitterbasisreduktion
nach Lenstra-Lenstra-Lovasz beschrieben und mit deren Hilfe die
Polynomialit\"at der Primzerlegung ganzzahliger Polynome gezeigt. Als
weitere Anwendungen werden u. a. simultane diophantische Approximationen
behandelt und Angriffsm\"oglichkeiten auf Cryptosysteme vorgef\"uhrt.

\noindent
Im Kapitel Fermat werden Primzahltest und Primzerlegungsalgorithmus f\"ur
ganze Zahlen behandelt. Der erste Paragraph f\"uhrt \"uber das Studium von
Carmichael-Zahlen zum Primzahltest von Solovay und Strassen. Der folgende
enth\"alt elementare Faktorisierungsalgorithmen wie Pollards $ \varrho $ - und
(p-1)-Methode, Dixon's random square Methode (leider ohne Verfeinerung zum
quadratischen Sieb) sowie eine Beschreibung der elliptischen Kurven-Methode
von Lenstra. Beschlossen wird dieses Kapitel mit der Vorstellung von
diversen Verschl\"usselungssystemen, insbesondere dem auf obigen Resultaten
aufbauenden RSA-Schema.

\noindent
Das letzte Kapitel ist nichtlinearen algebraischen Gleichungssystemen
gewidmet. Nach Einf\"uhrung von Gr\"obnerbasen wird der Buchbergersche
Algorithmus behandelt, und es werden geometrische Anwendungen gezeigt. Bei
der Komplexit\"atsuntersuchung wird festgestellt, da"s dieser grundlegende
Algorithmus der Klasse der doppelt-exponentiellen Algorithmen angeh\"ort,
wodurch seine Reichweite im allgemeinen sehr eingeschr\"ankt ist. Es folgen
Abschnitte \"uber symbolische Integration, u. a. mit dem Algorithmus von
Rothstein und Trager, und symbolische Summation mit dem Gosper-Algorithmus.
Unter den Anwendungen sind u. a. Petri-Netze und automatisches Beweisen
(von Formeln) zu finden. Schlie"slich wird zum Abschlu"s das
Cyclohexan-Beispiel aus der Einf\"uhrung ausf\"uhrlich behandelt.

\noindent
Das Buch deckt den Standardstoff einer ein- bis zweisemestrigen Vorlesung
\"uber Computeralgebra ab. Unter anderem wegen der vielen Beispiele,
historischen Anmerkungen und Verweise ist es als Begleitlekt\"ure sehr zu
empfehlen. Da insbesondere die Themen der ersten beiden Kapitel sehr
ausf\"uhrlich behandelt und illustriert werden, ist dieses Buch auch zum
Selbststudium geeignet. Es kann weiter Impulse f\"ur Vorlesungen an
Fachhochschulen sowie f\"ur Arbeitsgemeinschaften an Schulen geben. Ich
w\"unsche diesem Buch einen breiten Leserkreis.


\begin{flushright}
B. H. Matzat (Heidelberg)
\end{flushright}



\UnterAbschnitt{{\bf G.~Gramlich, W.~Werner,
 Numerische Mathematik mit Matlab}\\{\em Eine
  Einf"uhrung f"ur Naturwissenschaftler und Ingenieure}}{ G.~Gramlich,
 W.~Werner, Numerische Mathematik mit Matlab}{numMath}

dpunkt Verlag, Heidelberg, 2000, ISBN 3-932588-55-X, 456
     S., DM 89,00.\\

\noindent

\textsc{Matlab} erfreut sich in Wissenschaft und Industrie immer gr"o"serer
Beliebtheit f"ur numerische Berechnungen aller Art. Zur Erg"anzung des
Basisprogramms existieren zahlreiche sogenannte \emph{Toolboxes} f"ur
speziellere Aufgaben wie z.B.\ der Simulation dynamischer Systeme. Die
\emph{Symbolic Math Toolbox} stellt eine Schnittstelle zu dem
Computeralgebrasystem \textsc{Maple} zur Verf"ugung und gestattet damit auch
symbolische Berechnungen. Sie geh"ort zum Lieferumfang der Studentenversion
von \textsc{Matlab}, ansonsten mu"s sie separat gekauft werden.

Wie der Titel klar anzeigt, m"ochte das Buch Naturwissenschaftler und
Ingenieure einf"uhren in die numerische Mathematik -- was hier vorrangig
numerische Lineare Algebra bedeutet -- unter Verwendung von \textsc{Matlab}.
Dies ist im wesentlichen auch sehr gut gelungen. Im Gegensatz zu vielen
B"uchern mit "ahnlicher Zielsetzung ersch"opft sich das vorliegende nicht
darin, einfach ein paar Kochrezepte f"ur Standardaufgaben zusammenzustellen,
sondern (im Rahmen des auf diesem Niveau M"oglichen) wird auch immer wieder
auf die numerischen Stabilit"at von Verfahren oder die Konditionierung von
Problemen eingegangen.

Von einer kurzen Einleitung abgesehen gliedert sich das Buch in neun Kapitel
und drei Anh"ange. Zun"achst werden die Grundlagen der Anwendung von
\textsc{Matlab} eingef"uhrt, danach Grundbegriffe der Linearen Algebra bzw.\ 
des Numerischen Rechnens. Die verbleibenden sechs Kapitel behandeln nach
einander lineare Gleichungssysteme, lineare Ausgleichsrechnung,
Eigenwertprobleme, Interpolation, nichtlineare Gleichungen und die
nichtlineare Ausgleichsrechnung. Jedes Kapitel enth"alt eine Reihe von
"Ubungsaufgaben sowohl zu den behandelten theoretischen Konzepten als auch zu
deren praktischen Anwendung in \textsc{Matlab}. Beweise sind kaum zu finden,
daf"ur aber zahlreiche Verweise auf weiterf"uhrende Literatur.

Von den drei Anh"angen ist der erste dem symbolischen Rechnen mit der
\emph{Symbolic Math Toolbox} gewidmet; der zweite gibt einen "Uberblick "uber
die Eigenschaften der wichtigsten Matrixfaktorisierungen und der dritte
enth"alt zahlreiche Internetadressen zu mathematischer Software,
Fachverb"anden (unter anderem auch die Fachgruppe Computeralgebra!) oder
Zeitschriften und Programmbibliotheken zur Numerischen Mathematik.

Dem Buch liegt eine CD bei, die zu s"amtlichen im Buch besprochenen Programmen
den Sourcecode enth"alt. Die Benutzung der CD setzt allerdings eine vorhandene
\textsc{Matlab}-Installation voraus.

Etwas st"orend sind die zahllosen Fu"snoten, die mitunter den Leseflu"s doch
ziemlich hemmen.\footnote{\emph{Authors who are interested in good exposition
    should avoid footnotes whenever possible, since footnotes tend to be
    disctracting}; Donald E. Knuth, The \TeX book.} An einigen Stellen haben
sich die beiden Koautoren wohl nicht gen"ugend abgestimmt. So ist es
sicherlich nicht n"otig, innerhalb von f"unf Seiten zweimal zu erl"autern, was
$A^H$ bedeutet (beide Male selbstverst"andlich in einer Fu"snote\dots).  Von
solchen Kleinigkeiten abgesehen kann das Buch ohne Einschr"ankungen f"ur
entsprechende Vorlesungen empfohlen werden. Ein Student, der es komplett
durchgearbeitet hat, sollte sowohl "uber vern"unftige Grundkenntnisse in
Numerischer Mathematik als auch "uber einige praktische Erfahrung im Umgang
mit \textsc{Matlab} verf"ugen.

\begin{flushright}
Werner M. Seiler (Mannheim)  
\end{flushright}


\UnterAbschnitt{{\bf D.~Nowottny, Mathematik am Computer}}
{D.~Nowottny, Mathematik am Computer}{nowottny}

 Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-66058-5, 250 p., DM 49.90.\\
\noindent


\emph{Mathematik am Computer} versucht, eine kurze Einf\"{u}hrung in drei
wichtige und typische Programmsysteme, n\"{a}mlich \LaTeX{}, MATLAB und
Maple zu geben. Das Buch eignet sich z.B. als Begleittext f\"{u}r Kurse in
Hochschulrechenzentren, die Studierende in die Benutzung dieser
mathematischen Software einf\"{u}hren. Es gibt keine, wie heute meist \"{u}%
blich, dem Buch beigef\"{u}gte CD, die den Programmcode der zahlreichen
Beispiele enth\"{a}lt; diese k\"{o}nnen jedoch von einem im Buch angegebenen
FTP-Server heruntergeladen werden. F\"{u}r den ernsthaft Interessierten wird
diese kleine zus\"{a}tzliche M\"{u}he kein Hindernis darstellen. Besonders
positiv hervorzuheben sind die vielen interessanten, konkreten
Aufgabenstellungen und Visualisierungen, die behandelt werden; diese allein
sind die Anschaffung des Buches wert, auch wenn etliche dieser Beispiele
bereits -verstreut- an anderer Stelle publiziert sind. Es soll aber nicht
verschwiegen werden, dass es f\"{u}r jedes der drei Programme etliche
bessere und ausf\"{u}hrlichere -und in der Regel aber auch wesentlich
teuerere- Einf\"{u}hrungen gibt. Wer sich gezielt f\"{u}r \LaTeX{}, MATLAB
oder Maple und deren Feinheiten interessiert, sollte zu einer anderen Quelle
greifen. Deutliche Schw\"{a}chen hat das Buch, wenn es um Erkl\"{a}rungen
von Ph\"{a}nomenen geht, auf die man z.B. in der Computeralgebra st\"{o}\ss %
t. So wird (auf S. 111) recht laienhaft dar\"{u}ber spekuliert, warum Maple
als L\"{o}sung der Gleichung
\begin{equation}
\ln (x)=\ln (\frac{2}{x+1})
\end{equation}

neben $x=1$ auch $x=-2$ liefert. Der Hinweis, dass die von Maple berechnete L%
\"{o}sung -2 korrekt ist, wenn man den Logarithmus als Funktion auf den
komplexen Zahlen betrachtet, fehlt. Pikant ist, dass der Autor unter der
treffenden \"{U}berschrift ''5.5.4 Achtung Fehler'' einen eigenen
Eingabefehler der Maple-Integration anlastet:  ,,Gelegentlich kommt es vor,
da\ss\ Maple falsche Ergebnisse liefert ...''. Den Term $\sqrt{\frac{-1}{%
x^{2}-1}}$  realisiert er in Maple durch den Befehl \texttt{sqrt(-1/x\symbol{%
94}2-1)} anstelle von \texttt{sqrt(-1/(x\symbol{94}2-1))}(beachte die
Klammerung!) \ und wundert sich, warum das Integral \"{u}ber diesen Term
nicht -wie erwartet- arcsin(x) ergibt. Es ist ja durchaus bekannt, dass
Maple wie auch andere Computeralgebrasysteme gewisse Integrale falsch
berechnen; das hier zur Demonstration verwendete Beispiel ist jedoch
lediglich ein Syntaxfehler bei der Eingabe. Der ausgesprochen positive
Eindruck, den die vielen sch\"{o}nen Beispiele des Buches hinterlassen, wird
etwas getr\"{u}bt durch derartige inhaltliche M\"{a}ngel.



\begin{flushright}
Wilhelm Werner (Heilbronn)
\end{flushright}

%\end{itemize}



%}
%\indent

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Lehrveranstaltungen                                         %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{-3em}
%\newpage 

\Abschnitt{Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra im WS 2000/2001}{Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra im WS 2000/2001}{lehrv}

\begin{itemize}


\item {\bf Rheinisch--Westf"alische Technische Hochschule Aachen}\\
{\em Einf"uhrungspraktikum in das Formelmanipulationssystem Maple}, G. 
Hi"s, U. Klein, V. Dietrich, P2\\
{\em Praktikum: Programmieren in Maple}, G. Hi"s, U. Klein, P4\\
{\em Arbeitsgemeinschaft zu speziellen Problemen mit Maple}, V. Dietrich, U. Klein,
E. G"orlich, "U2

\item {\bf Universit"at Bayreuth}\\
{\em Diskrete Strukturen}, A. Kerber, V4+"U2\\
{\em Kodierungstheorie}, A. Kerber, V2+"U2

\item {\bf Freie Universit"at Berlin}\\
{\em Computeralgebra}, K. Gatermann, V2

\item {\bf Technische Universit\"at Berlin}\\
{\em Konstruktive Zahlentheorie II}, M. Pohst, V4\\
{\em Seminar Algorithmische Zahlentheorie und Algebra}, M. Pohst, S2

%\item {\bf Universit"at Bonn}\\

\item {\bf Technische Universit"at Darmstadt}\\
{\em Algorithmische Zahlentheorie}, J. Buchmann, N.N., V2+"U2\\
{\em Kryptographie II}, I. Biehl, V4+"U2\\
{\em Praktikum Public Key Infrastruktur und Anwendungen}, 
J. Buchmann, M. Ruppert, P4\\
{\em Praktikum Weiterentwicklung von LiDIA}, J. Buchmann, N.N., P4\\
{\em Praktikum Elektronische Zahlungssysteme}, D. Kuegler, H. Vogt, P4\\
{\em Praktikum Implementation und Design von kryptographischen und 
 zahlentheoretischen Algorithmen, die elliptische Kurven verwenden}, 
 J. Buchmann, H. Baier, B. Henhapl, P3
%{\em Oberseminar}, J. Buchmann, OS2


\item {\bf Universit"at Dortmund}\\
{\em Seminar symbolisches und numerisches L"osen von Gleichungssystemen},  H. M. M"oller, S2

%\item {\bf Technische Universit"at Dresden}\\

\item {\bf Universit"at Erlangen-N"urnberg}\\
{\em Computeralgebra}, V. Strehl, V3 + "U1\\
{\em Kryptografie I}, H. Meyn, V2\\
{\em Hauptseminar Kryptografie}, M. Bauer, S2\\
{\em Differentialalgebra}, W.-D. Geyer, V2\\
{\em Codes}, H. Kurzweil, V4 + "U2

\item {\bf Fachhochschule Flensburg}\\
{\em Angewandte Mathematik mit Maple V fuer VerfahrenstechnikerInnen im
Hauptstudium}, P. Thieler,  V2+P2\\
{\em Iterationsverfahren mit Maple 6  fuer MathematikerInnen im Hauptstudium},
P. Thieler,   V2+P2\\
{\em Mathematik IV  - Angewandte Mathematik mit Maple 6  fuer Studierende der
Medieninformatik und der Technischen Informatik}, P. Thieler,  V2+P2\\
{\em DV-Anwendungssysteme Teil II - Maple 6  fuer MathematikerInnen im
Grundstudium}, P. Thieler,  V2+P2


%\item {\bf Universit"at Greifswald}\\

\item {\bf Universit"at Hamburg}\\
{\em Einf"uhrung in die Computeralgebra}, K. Gatermann, Blockkurs

\item {\bf Technische Hochschule Hamburg-Harburg}\\
{\em Diskrete Mathematik Ia}, K.-H. Zimmermann, V2+"U1\\
{\em Diskrete Mathematik II}, K.-H. Zimmermann, V3+"U2\\ 
{\em Diskrete Mathematik III}, P. Batra, V2

%\item {\bf Universit"at Hannover}\\

\item {\bf Martin-Luther-Universit"at Halle(Saale)}\\
{\em Mathematik mit Mathcad}, H. Benker, S2\\
{\em Statistik mit Mathematica und Mathcad}, H. Benker, H .Dietrich,H. Fritsch, S2

\item {\bf Universit"at Heidelberg}\\
{\em Codierungstheorie}, P. M"uller , V2

\item {\bf Universit"at Kaiserslautern}\\
{\em Einf"uhrung in die Kryptographie}, A. Guthmann, V2\\
{\em Seminar Kryptographie }, A. Guthmann, S2\\
{\em Seminar Algebraische Geometrie und Computeralgebra},
 G.-M. Greuel, G. Pfister, S2

\item {\bf P"adagogische Hochschule Karlsruhe}\\
{\em Algorithmen - von Hammurapi bis G"odel}, J. Ziegenbalg, V2\\
{\em Codierung und Kryptographie}, J. Ziegenbalg, V2

%\item {\bf Universit"at Karlsruhe}\\

%\item {\bf Fachhochschule Karlsruhe}\\

\item {\bf Universit"at-Gesamthochschule Kassel}\\
{\em Ausgew"ahlte Kapitel der Computeralgebra}, W. Koepf, V4+"U2\\
{\em Seminar: Mathematik f"ur Grund-, Haupt- und Realschule}, W. Koepf, S2\\
{\em Oberseminar: Computational Mathematics}, W. Koepf, G. Malle, G. R"uck, OS1\\
{\em Einf"uhrung in Computeralgebrasysteme}, R. Schaper, V2+"U2

\item {\bf Universit"at K"oln}\\
{\em Primzahlen und Faktorisierung}, N. Klingen S2

%\item {\bf Hochschule f\"ur Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig}\\

\item {\bf Universit\"at Leipzig}\\
   {\em Einf"uhrung in das Symbolische Rechnen}, H.-G. Gr"abe, V2 + "U1\\
   {\em Praktikum Symbolisches Rechnen}, H.-G. Gr"abe, Blockpraktikum\\
   {\em Geometrie mit dem Computer}, H.-G. Gr"abe, V2

\item {\bf Universit"at Linz, Research Institute for Symbolic Computation}\\
{\em Einf"uhrung in die Computer Algebra}, F. Winkler, V2+"U2\\
{\em Computer Analysis}, P. Paule, V2\\
{\em Algorithmische Kombinatorik}, P. Paule, V2\\
{\em Computeralgebrasysteme (DERIVE, TI-89/92) als didaktische Werkzeuge im Mathematikunterricht}, B. Kutzler, V2\\
{\em Projektseminar Computer Algebra}, F. Winkler, S2

%\item {\bf Universit"at Mannheim}\\

\item {\bf Technische Universit"at M"unchen}\\
{\em Computeralgebra 1}, M. Kaplan, V4

\item {\bf Universit"at Oldenburg}\\
{\em Seminar zur Computeralgebra}, W. Schmale, S2

%\item {\bf Universit"at-Gesamthochschule Paderborn}\\

%\item {\bf Universit"at Passau}\\

%\item {\bf Universit"at Rostock}\\

%\item {\bf Universit"at des Saarlandes Saarbr"ucken}\\

\item {\bf Universit"at T"ubingen}\\
{\em Gr"obnerbasen}, C. Schwarzweller, V2 + "U1\\
{\em Seminar Computeralgebra}, R. Loos, S2


\item {\bf Universit"at Ulm}\\
{\em Computer-Algebra Praktikum f"ur Physiker}, G. Baumann, V2+P4

\item {\bf Universit"at W"urzburg}\\
{\em Physik per Computer, Programmieren physikalischer Probleme mit C
und Mathematica}, W. Kinzel, V4


\item {\bf ETH Z"urich}\\
{\em Computer Algebra I}, T. Mulders, V2 + U1


\end{itemize}

%\indent
%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     Kurze Mitteilungen                                          %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% \Abschnitt{Kurze Mitteilungen}{Kurze Mitteilungen}{mitteil}

{\vspace*{5mm}
\section*{\Large\bf\hrule\vspace{1mm}
\centerline{Kurze Mitteilungen}}\vspace{-3mm}\hrule}

\vspace*{4mm}

 \begin{itemize}


\item {\bf Personelle Ver\"{a}nderungen im ISSAC Steering Committee}

Auf der ISSAC 2000 in St. Andrews wurde Keith Geddes ( Univ. London/Ontario ), 
einer der V\"{a}ter des Computeralgebrasystems  MAPLE, in das Steering Committee
gew\"{a}hlt. Turnusm\"{a}\ss{}ig schied daf\"{u}r D. Saunders aus. Der Vorsitzende
des Komitees, Robert Corless ( Univ. London/Ontario ), trat zur\"{u}ck zugunsten
seines Stellvertreters, W. K\"{u}chlin (Univ. T\"{u}bingen). Damit sind jetzt 
im Komitee neben den beiden genannten Mitgliedern noch Barry Trager (IBM, Yorktown 
Heights), Marc Giusti (Palaiseaux, Frankreich), H.M.M\"{o}ller (Univ. Dortmund) und
George Labahn ( Univ. London/Ontario ). 
       



\item\fbox{\parbox{16cm}{
Folgende Stelle ist zu besetzen:

\begin{center}
{\Large \bf 
  Im Fachbereich Mathematik/Informatik baldm"oglichst\\

  Wiss. Mitarbeiter/in ( BAT II a)\\

  Computational Mathematics
}\\
\end{center}

  halbtags, befristet f"ur zun"achst 3 Jahre mit der M"oglichkeit der Verl"angerung um weitere 2 Jahre (Qualifikationsstelle gem. § 77 HHG
  i.V.m § 57 b (2) Nr. 1 HRG; Promotionsm"oglichkeit).

  Aufgaben: Entwicklung und Programmierung von Algorithmen f"ur Fragestellungen aus den Bereichen der symbolischen Summation bzw.
  Integration, der orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen, der Funktionentheorie oder verwandter Gebiete und die Betreuung
  von Lehrveranstaltungen in der Computational Mathematics. Bereitschaft zur Promotion in diesem Schwerpunkt wird vorausgesetzt.
  Voraussetzungen: Dipl.-Mathematiker/in mit guten Kenntnissen im Bereich der computergest"utzten Mathematik. N"ahere Ausk"unfte
  erhalten Sie bei Prof. Dr. Koepf, koepf@mathematik.uni-kassel.de. Bewerbungsfrist: 31.10.2000


  Der Frauenf"orderplan der Universität Gesamthochschule Kassel verpflichtet zur Erh"ohung des Frauenanteils. Frauen werden deshalb
  nachdr"ucklich zur Bewerbung aufgefordert. Schwerbehinderte erhalten bei gleicher Eignung den Vorzug. Vollzeitstellen sind
  grunds"atzlich teilbar. Bewerbungen mit den "ublichen Unterlagen sind unter Angabe der Kennziffer innerhalb o. g. Frist(en) nach
  Erscheinen an den Pr"asidenten der Universität Gesamthochschule Kassel, 34109 Kassel, zu richten.

}

}


\item\fbox{\parbox{16cm}{
Folgende Stelle ist zu besetzen:

\begin{center}
{\Large \bf 
Wissenschaftlicher Mitarbeiter gesucht
}\\
\end{center}

Im Fachbereich Mathematik der Universit\"{a}t Dortmund ist bei 
Prof. Dr. H. M. M\"{o}ller eine Stelle f\"{u}r einen wissenschaftlichen
Mitarbeiter bzw. eine wissenschaftliche Mitarbeiterin zum 1.1.2001 zu 
besetzen. Die Stelle ist auf vier Jahre befristet und bietet Gelegenheit zur
Promotion. Der offizielle Ausschreibungstext ist im Dekanat des Fachbereichs 
Mathematik der Universit\"{a}t Dortmund, 44221 Dormund, erh\"{a}ltlich.
Von dem Mitarbeiter/der Mitarbeiterin wird Vertrautheit mit einem 
Computeralgebrasystem 
erwartet, gute Numerikkenntnisse und die Bereitschaft, bei der Betreuung von 
Lehrveranstaltungen auf dem Gebiet des symbolischen und numerischen Rechnens 
mitzuwirken.



}

}



\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%     letzte Seiten                                               %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{empty}

\newpage
Werbeseite der Fa. Visual Analysis



\newpage
\vspace{-16em}
\input{Aufnahmeantrag.tex}
% \addcontentsline{toc}{section}{\normalsize \bf 
% Aufnahmeantrag f\"ur Mitgliedschaft in der Fachgrup\-pe}%\toc_dotfill }

\pagestyle{plain}

\newpage
\input{CARimpressum.tex}
\addcontentsline{toc}{section}{\normalsize \bf 
Fachgruppenleitung Computeralgebra 1999-2002, Impressum}%\toc_dotfill }


\newpage
Werbeseite der Fa. Springer Verlag\\
%!! Anzeige schon bei v. Ort !!
\end{document}




